Question

Num sistema cartesiano, os pontos A(-2,-3) e C(5,4) são vértices de um quadrado ABCD, quais as coordenadas dos outros dois vértices (B e D)

Answer 1

Ponto B = (-2, 4) Ponto D = (5, -3)

Answer 2

Olá, 
Veja a figura:

Reta que passa por A(-2,-3) e C(5,4):

m = -3-4 / -2-5
m = 1

y + 3 = m.(x+2)
y + 3 = 1.(x+2)
y + 3 - x - 2 = 0
y - x + 1 = 0

A reta que passa por AB é perpendicular à reta que passa por AC:

y + 3 = -1.(x+2)
y + 3 = -x -2
y + 3 + x + 2 = 0
y+x + 5 = 0

A reta que passa por CD do mesmo jeito:

y - 4 = -1.(x-5)
y - 4 = -x + 5
y - 4 + x - 5 = 0
y + x - 9 = 0

A distância entre A e C:
√(-2-5)²(-3-4)² = √(49+49) = √98
esse é o  lado do quadrado.

A distância entre C e D(x,y):
(5-x)²+(4-y)² = 98

Veja que isso é uma circunferência e tem duas intersecções com a reta que passa por CD, essas intersecções serão as possíveis coordenadas de D:

y + x - 9 = 0
y = -x + 9

(5-x)²+(4-y)² = 98
(5-x)²+(4+x-9)² = 98
(25-10x+x²) + (-5+x)² = 98
25 - 10x + x² + 25 - 10x + x² = 98
50 -20x + 2x² = 98
25 - 10x + x² = 49
x² - 10x -24 = 0

bhaskara:

x = {-2,12}

y = -x + 9
y = 2 + 9
y = 11

y = -x + 9
y = -12 + 9
y = -3

O ponto D:
(-2,11) ou (12,-3)

Agora a distância entre A e B(x,y):
(-2-x)²+(-3-y)² = 98

Circunferência com duas intersecções na reta que passa por AB:

y+x + 5 = 0
y = -5 - x

(-2-x)²+(-3-y)² = 98
(-2-x)² + (-3+5+x)² = 98
4 +4x+x² + (2+x)² = 98
4+4x+X² + 4 + 4x+x² = 98
2x²+8x+8-98 = 0
2x²+8x-90 = 0
x²+4x-45 = 0

Bhaskara:
x: {-9,5}

y = -5 - x
y = -5 +9
y = 4

y = -5 - x
y = -5 -5
y = -10

O ponto B:
(-9,4) ou (5,-10)