Question

Num retângulo, a base mede o dobro da altura.
Adicionando 18 à área desse retângulo, obtém-se o dobro do seu perímetro. Qual é o comprimento do retângulo?

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Vou tentar interpretar essa questão.

A questão nos informa que a base é igual a duas vezes a altura, ou seja:

$\boxed{b = 2h}$

Sabemos que a fórmula da área de um retângulo é dada por:

$\large \boxed{a = b \times h}$

A questão fala que adicionando 18 a área desse retângulo obtemos duas vezes o PERÍMETRO, o PERÍMETRO é dado por:

$p = 2.(b + h)\\ \boxed{p = 2h + 2b}$

Vamos adicionar a 18 a área e igualar a duas vezes o PERÍMETRO.

$b \times h + 18 =2.( 2h + 2b)$

No começo criamos uma expressão b = 2h, então vamos substituir no local de "b" o termo "2h".

$2h \times h + 18 = 2.(2h + 2.(2h)) \\ 2h {}^{2} + 18 = 2.(2h + 4h) \\2h {}^{2} + 18 = 2.(6h) \\ 2h {}^{2} + 18 = 12h \\ \boxed{ 2h {}^{2} - 12h + 18 = 0 }$

Temos que resolver essa equação do segundo grau e desprezar a raiz que tiver valor negativo, já que não existe medida de comprimento negativa.

I) Coeficientes:

$\begin{cases} a = 2 \\ b = - 8 \\ c = 18 \end{cases}$

II) Bháskara:

$\boxed{h = \frac{ - b \pm \sqrt{b { }^{2} - 4.a.c} }{2.a} } \\ \\ h = \frac{ - ( - 12 \pm \sqrt{( - 12) {}^{2} - 4.2.18} }{2.2} \\ \\ h = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144} }{4} \\ \\ h = \frac{12 \pm \sqrt{0} }{4} \\ \\ h _1 = \frac{12 + 0}{4} \\ h_1 = \frac{12}{4} \\ \boxed{h_1 = 3} \\ \\ h_2 = \frac{12 - 0}{4} \\ h_2 = \frac{12}{4} \\ \boxed{ h_2 = 3}$

Temos então que altura (h) é igual a 3.

h = 3

Substituindo na expressão (b = 2h)

$b = 2h \\ b = 2.3 \\ \boxed{b = 6}$

Agora vamos ver se as afirmações estão certas, substituindo na fórmula que criamos.

$b \times h + 18 = 2.(2h + 2b) \\ 6 \times 3 + 18 = 2.(2.3 + 2.6) \\ 18 + 18 = 2.(6 + 12) \\ 36 = 2.(18) \\ \boxed{36 = 36}$

Está correto!!

A questão quer saber o comprimento.

Comprimento = base, só que com nomenclatura diferente, portanto o comprimento é igual a 6.

Comprimento = 6.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️