Question

Num quadrado ABCD, os vertices A(1; 2) e C(8; 3) sao extremos de uma das diagonais. Determine os outros dois vertices.

Answer 1

Os pontos da diagonal são:

(1,2) e (8,3)

A diagonal mede, então:

d = raiz de [ (8-1)^2 + (3-2)^2 ]

d = raiz de [ 7^2 + 1^2 ]

d = raiz de [ 49 + 1 ]

d = raiz [ 50 ]

d = 5 raiz de [ 2 ]

O ponto médio da diagonal vale : (some as coordenadas e divida por 2)

( (8+1)/2 ; (3+2)/2)

(9/2, 5/2)

Encontrando a inclinação (m) da diagonal 1:

Pontos: (1,2) e (8,3)

x = 8

xo = 1

y = 3

yo = 2

Calculando m:

m = y-yo/x-xo

m = 3-2/8-1 = 1/7

As duas diagonais do quadrado se interceptam no meio da diagonal, formando ângulos de 90° entre si. Isso significa que as retas são concorrentes perpendiculares. Sabendo disso, podemos achar a equação reduzida da segunda diagonal, calculando o valor de "m" dela.

Utilizando a relação:

m1.m2 = -1

1/7 . m2 = -1

m2 = -7

Agora, utilizando equação fundamental da reta, para a diagonal 2:

y-yo = m.(x-xo)

y-5/2= -7.(x-9/2)

y - 5/2 = -7x + 63/2

y - 5/2 + 7x -63/2 = 0

y = 68/2 - 7x ou

y = 34 - 7x (Eq. 1)

A distância entre o ponto médio e o vértice B é a metade da diagonal:

Metade = 5 raiz de 2 / 2

( Metade )^2 = 25/2

Utilizando a equação da distância entre pontos:

25/2 = (x-9/2)^2 + (y-5/2)^2

Substituindo a equação 1 no valor de y.

25/2 = (x-9/2)^2 + (68/2-7x-5/2)^2

25/2 = (x-9/2)^2 + (63/2-7x)^2

25/2 = x^2 - 9x + 81/4 + 3969/4 - 2.63/2.7x + 49x^2

25/2 = x^2 - 9x + 81/4 + 3969/4 - 441x + 49x^2

0 = 50x^2 - 450x + 81/4 + 3969/4 -25/2

(TIRE O MMC dos números sem incógnita)

0 = 50x^2 - 450x + 4000/4

0 = 50x^2 - 450x + 1000

Simplificando por 50:

0 = x^2 - 9x + 20

<=>

x^2 - 9x + 20 = 0

RESOLVENDO A EQ. QUADRÁTICA

Raízes: x1 = 5 e x2 = 4

Substituindo os valores de x na equação 1

y1 = -1,5

y2 = 6,5

RESPOSTA: PONTOS

A = (1, 2)

B = (5 , -1,5)

C = (8, 3)

D = (4, 6,5)