Question

Num prisma triangular regular de volume 4 raiz de 3, cada aresta lateral mede o dobro de cada aresta da base. Calcule a área total desse prisma.

Answer 1

Resposta:

$24+2\sqrt3\:cm^2$

ou

$2.(12+\sqrt3)\:cm^2$

Explicação passo-a-passo:

O volume do prisma é dado por: Área da Base x Altura (V = Ab x h)

A base desse prisma é um triângulo equilátero, cuja área pode ser calculada por $\frac{x^2\times\sqrt3}{4}$ onde o x (geralmente é um $l$) é o lado do triângulo.

A altura do prisma é igual à medida da aresta lateral, cujo valor foi dado como o dobro do lado do triângulo. Se a aresta do triângulo mede x, então a altura mede 2x.

Vamos calcular as arestas (x e 2x).

$V=Ab\times h\\\\4\sqrt3=\frac{x^2\times\sqrt3}{4}\times2x\\\\4\sqrt3=\frac{2x^3\times\sqrt3}{4} \\\\4\sqrt3\times4=2x^3\times\sqrt3\\\\16\sqrt3=2x^3\times\sqrt3\\\\\frac{16\sqrt3}{\sqrt3}=2x^3\\\\16=2x^3\\\\\frac{16}{2}=x^3\\\\8=x^3\\\\\sqrt8=x\\\\2=x$

x = 2, então cada aresta da base = 2 e cada aresta lateral = 4 (2 x 2 = 4).

Vamos calcular a área total

Área das bases (Ab):

$Ab=\frac{x^2\times\sqrt3}{4}\\\\Ab=\frac{2^2\times\sqrt3}{4}\\\\Ab=\frac{4\sqrt3}{4}\\\\Ab=\sqrt3\:cm^2$

O prisma tem a base inferior e a base superior, logo a área das bases é igual a 2√3 cm² (√3 x 2).

Área lateral (AL):

Cada face do prisma é um retângulo onde a altura é a aresta lateral e a largura é aresta da base. (área do retângulo = altura vezes largura)

$Al=b\times h\\\\Al=2\times4\\Al=8\:cm^2$

O prisma tem 3 faces laterais, logo a área lateral é igual a 24 cm² (8 x 3 = 24).

Área Total (At)

Finalmente (ufa!), para calcular a área total fazemos a soma da área das bases com a área lateral

$At=Ab+Al\\\\At=2\sqrt3\:cm^2+24\:cm^2\\\\At=24+2\sqrt3\:cm^2\;\:ou\:\:2.(12+\sqrt3)$