Question

Num pêndulo cônico uma pequena esfera de massa igual a 2 kg está suspensa por um fio ideal, de massa desprezível e com 4 metros de comprimento. Sabendo que a esfera descreve movimento circular uniforme, com centro em C, qual o valor da velocidade angular desse movimento, em rad/s? (g= 10 m/s² e ângulo= 60 graus)

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado podemos afirmar que o valor da velocidade angular desse movimento, em rad/s é

$\textstyle \sf \sf \omega = \sqrt{5} \: \: rad/s$.

O pêndulo cônico é constituído por uma esfera presa presa a um fio girando num plano horizontal, em torno de um eixo vertical imaginário.

A tração T do fio é dado Por:

No eixo horizontal, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \sin{\theta} = \dfrac{Cateto ~ Oposto}{hipotenusa} \Rightarrow \sin{\theta} = \dfrac{T_y}{T} } }$

$\LARGE \boldsymbol{ \displaystyle \sf T_y = T \cdot \sin{\theta} }$

$\LARGE \boldsymbol{ \displaystyle \sf T_y = P }$

No eixo vertical, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos{\theta} = \dfrac{Cateto ~ adjacente}{hipotenusa} \Rightarrow \cos{\theta} = \dfrac{T_x}{T} } }$

$\LARGE \boldsymbol{ \displaystyle \sf T_x = T \cdot \cos{\theta} }$

A componente horizontal age como força centrípeta no MCU.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T_x = T \cdot \cos{\theta} = F_{C_p} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T_x = m \cdot a_{c_P} } }$

$\LARGE \boldsymbol{ \displaystyle \sf T_x = m \cdot \omega^2 \cdot R }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf m = 2 \: kg \\ \sf L = 4 \: m\\ \sf \sin{30^\circ } = 0{,}5\\\sf \cos{30^\circ} = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sf g = 10 \: m/s^2 \end{cases} } }$

Determinar o raio usando a razão trigonométrica:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \cos{30^\circ } = \dfrac{ C. A}{Hip} \Rightarrow \dfrac{ \sqrt{3} }{2} = \dfrac{R }{4} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2R = 4\sqrt{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf R = 2\sqrt{3} \:m }$

Devemos calcular o valor da tração T:

$\Large \displaystyle \mathsf{ T_y = P }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T \cdot \sin{30^\circ} = P } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T = \dfrac{m \cdot g}{\sin{30^\circ}} = \dfrac{2 \times 10}{0{,}5} = \dfrac{20}{0{,}5} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf T = 40\: N }$

Agora, vamos determinar o valor da velocidade angular em rad/s.

$\Large \displaystyle \mathsf{ T_x = m \cdot \omega^2 \cdot R }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T \cdot \cos{30^\circ} = m \cdot \omega^2 \cdot R } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 40 \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{2} = 2 \cdot \omega^2 \cdot 2 \sqrt{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{20 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \cdot \omega^2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \omega^2 = \dfrac{20 \sqrt{3} }{4 \sqrt{3} } } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \omega^2 = 5 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \omega = \sqrt{5} \: \:rad/s }$

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