Question

Num paralelogramo ABCD, M(1, -2) é o ponto de encontro das diagonais AC e BD. Sabe-se que A(2, 3) e B(6, 4) são dois vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam mutuamente ao meio, determine as coordenadas dos vértices C e D.

Answer 1

Olá, Beanca.

$d_{AM}^2=(2-1)^2+(3+2)^2=1+25=26\\\\ d_{BM}^2=(6-1)^2+(4+2)^2=25+36=61\\\\ d_{CM}^2=d_{AM}^2\Rightarrow(x_C-1)^2+(y_C+2)^2=26~(i)\\\\ d_{DM}^2=d_{BM}^2\Rightarrow(x_D-1)^2+(y_D+2)^2=61~(ii)\\\\ \boxed{y_C=y_B=4}\\\\\boxed{y_D=y_A=3}\\\\x_B-x_C=x_A-x_D\Rightarrow 6-x_C=2-x_D=4\Rightarrow x_D=x_C-4~(iii)$

Substituindo a expressão (iii) e o valor de $y_D$ em (ii), temos:

$(x_C-4-1)^2+(3+2)^2=61\Rightarrow(x_C-5)^2=61-25\Rightarrow\\\\ x_C-5=\sqrt{36}=\pm6\Rightarrow x_C=\pm6+5\Rightarrow\boxed{x_C=11\text{ ou }x_C=-1}$

Substituindo na expressão (iii), temos:

$x_D=11-4\Rightarrow\boxed{x_D=7}$

ou

$x_D=-1-4\Rightarrow\boxed{x_D=-5}$

Resposta: as coordenadas possíveis para os pontos C e D são:
 
1) C(11,4) e D(7,3) ou;
 
2) C(-1,4) e D(-5,3).