Question

Num paralelepípedo reto retângulo as medidas a,b e c das arestas são proporcionais aos números 4, 3 e 2. A área lateral desse prima é 252cm². Calcule seu volume:
R=648 cm³, gostaria do cálculo 

Answer 1

Usando o dado sobre as proporcionalidades das arestas:

$Dado:~\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{2}\\\\ \Longrightarrow\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{3}\iff b=\dfrac{3a}{4}\\\\ \Longrightarrow \dfrac{a}{4}=\dfrac{c}{2}\iff c=\dfrac{2a}{4}=\dfrac{a}{2}$

Agora, vamos calcular a área lateral (considerando o retângulo de dimensões axb como a base) do paralelepípedo pela fórmula logo abaixo:

$A_{lat}=2(ac+bc)\\\\ 252=2(ac+bc)\\\\\ 126=ac+bc\\\\ 126=a\cdot\dfrac{a}{2}+\dfrac{3a}{4}\cdot\dfrac{a}{2}\\\\ 126=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{3a^2}{8}\\\\ 126=\dfrac{4a^2}{8}+\dfrac{3a^2}{8}\\\\ 126=\dfrac{4a^2+3a^2}{8}\\\\ 126=\dfrac{7a^2}{8}\\\\ 7a^2=8\cdot126=1008\\\\ a^2=\dfrac{1008}{7}=144\to a=\sqrt{144}\to\boxed{a=12~cm}\\\\ b=\dfrac{3a}{4}=\dfrac{3\cdot12}{4}=\dfrac{36}{4}\to\boxed{b=9~cm}\\\\ c=\dfrac{a}{2}=\dfrac{12}{2}\to\boxed{c=6~cm}$

Agora, usando que $Volume=abc$, temos:

$V=abc\\\\ V=12\cdot9\cdot6\\\\ V=108\cdot6\\\\ \boxed{V=648~cm^3}$