Question

Num paralelepípedo retângulo de dimensões a, b, e c, sabe-se que a área total S e a diagonal d são dadas pelas fórmulas S= 2ab + 2ac + 2bc e d= √a²+b²+c², respectivamente. Considere um paralelepípedo retângulo com S=108 e d=6. Dessa maneira, o valor de a+b+c é:
a)9
b)12
c)15
d)16
e)18

Answer 1

Sabemos que:

$S = 2ab + 2ac + 2bc \\ S = 2(ab + ac + bc) \\ \\ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \\ d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Logo temos:

$108 = 2(ab + ac + bc) \\ \\ 36 = a^2 + b^2 + c^2$

Designando um valor $x$ para o resultado da soma de $a + b +c[/tex, temos: [tex]x = a + b + c \\ \\ x^2 = (a + b + c)(a + b + c) \\ \\ x^2 = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 \\ \\ x^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \\ \\ x^2 = (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + ac + bc) \\ \\ x^2 = 36 + 108 \\ \\ x^2 = 144 \\ \\ x = \sqrt{144} \\ \\ x = 12$

Answer 2

O valor de a + b + c é 12.

Observe que se elevarmos a soma a + b + c ao quadrado, obteremos a seguinte expressão:

(a + b + c)² = (a + b)² + 2(a + b).c + c²

(a + b + c)² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c².

De acordo com o enunciado, a medida da diagonal do paralelepípedo é igual a 6.

Sendo assim, temos que:

√(a² + b² + c²) = 6²

a² + b² + c² = 36.

Além disso, temos a informação de que a área total do paralelepípedo é igual a 108, ou seja, 2ab + 2ac + 2bc = 108.

Veja que podemos escrever a expressão (a + b + c)² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c² da seguinte forma:

(a + b + c)² = d² + S.

Portanto, podemos concluir que a soma a + b + c é igual a:

(a + b + c)² = 36 + 108

(a + b + c)² = 144

a + b + c = √144

a + b + c = 12.

Alternativa correta: letra b).

Para mais informações sobre paralelepípedo: https://brainly.com.br/tarefa/18907518