Question

num paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, sabe-se que a área total S e a diagonal d são dadas pelas fórmulas S = 2ab + 2bc + 2bc e d = √a²+b²+c² , respectivamente. Considere um paralelepípedo retângulo com S = 108 e d = 6. Dessa maneira, o valor de a+b+c é​

Answer 1

Vamos descobrir, primeiro, quanto vale $(a+b+c)^{2}$.

$(a+[b+c])^{2} = a^{2} + 2a(b+c) + (b+c)^{2}$

$(a+b+c)^{2} = a^{2} + 2ab + 2ac + b^{2} + 2bc + c^{2}$

Reorganizando:

$(a+b+c)^{2} = 2ab + 2bc + 2ac + a^{2} + b^{2} + c^{2}$ (Equação I)

Sabendo que $d = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$, então vamos elevar ambos os lados dessa equação ao quadrado.

$d^{2} = (\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})^{2}$

$d^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}$ (Equação II)

Sabendo que $S = 2ab + 2bc + 2ac$ (Equação III), vamos substituir as equações II e III na equação I.

$(a+b+c)^{2} = S + d^{2}$

$a+b+c = \sqrt{S+d^{2}}$ (Equação IV)

Encontramos, finalmente, uma relação entre a área, a diagonal e as arestas do paralelepípedo.

Área Total + Diagonal² = (a+b+c)²

Vamos substituir os valores na equação IV e encontrar a resposta.

$a+b+c = \sqrt{108+6^{2}}$

$a+b+c = \sqrt{108+36}$

$a+b+c = \sqrt{144}$

$a+b+c = 12$

A resposta correta, portanto, é a alternativa B.