Question

Num levantamento entre 90 alunos da Escola Mais sobre seus gêneros musicais favoritos,
obtivemos os seguintes resultados:
41 alunos gostam de ouvir Sertanejo;
29 alunos gostam de ouvir Rock;
26 Alunos gostam de ouvir Samba;
15 gostam de Sertanejo e Rock,
8 gostam de Rock e Samba;
• 19 gostam de Sertanejo e Samba;
5 gostam dos três gêneros musicais.
a) Quantos alunos não gostam de nenhum desses gêneros musicais?
b) Quantos alunos gostam só de Samba?​

Answer 1

Item A, 31 alunos não gostam de nenhum desses gêneros musicas, e item B, 4 alunos gostam APENAS de Samba.

$\blacksquare$ Acompanhe a solução:

→ Dados:

• total de alunos do levantamento (T): 90;
• 41 ouvem Sertanejo (Se);
• 29 ouvem Rock (R);
• 26 ouvem Samba (Sa);
• 15 ouvem Se e R (Se ∩ R);
• 8 ouvem R e Sa (R ∩ Sa);
• 19 ouvem Se e Sa (Se ∩ Sa);
• 5 ouvem os três gêneros musicais (Se ∩ R ∩ Sa).
• ouvem APENAS Se ($\overline{Se}$): ?
• ouvem APENAS R ($\overline{R}$): ?
• ouvem APENAS Sa ($\overline{Sa}$): ?
• Não ouvem nada (Nd): ?

Se considerarmos somente os alunos que escutam 1 gênero musical, totalizará: $sertanejo + rock + samba = 41+29+26 = \large\boxed{96}$. Ou seja, está acima do total de alunos do levantamento. Desta forma, interpreto que dentre o total de cada gênero musical está sendo contabilizado alunos que escutam APENAS 1 gênero musical, alunos 2 gêneros musicais e alunos que escutam os 3 gêneros musicais.

→ Transformando em linguagem matemática, temos:

$\large\begin{array}{l} \circ \;\boxed{Se = \overline{Se}+Se\cap R + Se\cap Sa + Se\cap R\cap Sa}\\\\\circ \;\boxed{R = \overline{R}+Se\cap R + R\cap Sa + Se\cap R\cap Sa}\\\\\circ \;\boxed{Sa = \overline{Sa}+R\cap Sa + Se\cap Sa + Se\cap R\cap Sa}\end{array}$

$\star$ Notou que os 3 gêneros ( Se ∩ R ∩ Sa ) está contabilizado em cada gênero musical?

$\star$ Notou que tanto em Se como em R está sendo contabilizado duas vezes Se ∩ R?

$\star$ Notou que em Se e em Sa está sendo contabilizado duas vezes Se ∩ Sa?

$\star$ Notou que em R e em Sa está sendo contabilizado duas vezes R ∩ Sa?

É preciso descontar cada evento repetido para que tenhamos os valores reais de cada evento, para assim chegarmos à equação geral.

Sabendo disto, os 90 alunos nada mais é do que o total da soma de todos os eventos apresentados sem as repetições. E não podemos esquecer os alunos que não gostam de nenhum desses três gêneros (Nd). Assim, podemos escrever a equação geral, sendo:

$\large\begin{array}{l} \boxed{90 = \overline{Se} + \overline{R} + \overline{Sa} + Se \cap R + R\cap Sa + Se\cap Sa + Se\cap R \cap Sa + Nd} \end{array}$

Vamos aos cálculos!

$\blacksquare$ Montando a equação:

$\star$ Primeiramente, devemos descontar dos alunos que escutam 2 gêneros, aqueles que escutam 3 gêneros e na sequência, descontar dos que escutam APENAS 1 gênero, aqueles que escutam 2 gêneros:

→ Descontando dos que escutam 2 gêneros, os alunos que escutam 3 gêneros:

• Alunos que escutam Se ∩ R:

$\large\begin{array}{l}Se\cap R - Se\cap R \cap Sa = 15 - 5 = \Large\boxed{\boxed{10}}\Huge\checkmark \end{array}$

• Alunos que escutam R ∩ Sa:

$\large\begin{array}{l} R\cap Sa - Se\cap R \cap Sa = 8 - 5 = \Large\boxed{\boxed{3}}\Huge\checkmark \end{array}$

• Aluno que escutam Se ∩ Sa:

$\large\begin{array}{l}Se\cap Sa - Se\cap R \cap Sa = 19 - 5 = \Large\boxed{\boxed{14}}\Huge\checkmark \end{array}$

$\Large\checkmark$ Assim, na verdade temos: Se ∩ R ∩ Sa = 5 alunos; Se ∩ R = 10 alunos; R ∩ Sa = 3 alunos e Se ∩ Sa = 14 alunos.

→ Descontando dos que ouvem APENAS um gênero, os alunos que escutam 2 gêneros e os que escutam 3 gêneros:

Utilizando as equações deduzidas inicialmente, temos:

• $\overline{Se}$:

$\large\begin{array}{l} Se = \overline{Se}+Se\cap R + Se\cap Sa + Se\cap R\cap Sa\\\\41 = \overline{Se}+10+14+5\\\\\oveline{Se}=41-29\\\\\Large\boxed{\boxed{\overline{Se}=12}}\Huge\checkmark\end{array}$

• $\overline{R}$:

$\large\begin{array}{l} R = \overline{R}+Se\cap R + R\cap Sa + Se\cap R\cap Sa\\\\29 = \overline{R}+10+3+5\\\\ \overline{R}=29 - 18\\\\\Large\boxed{\boxed{ \overline{R}=11}}\Huge\checkmark\end{array}$

• $\overline{Sa}$:

$\large\begin{array}{l} Sa = \overline{Sa}+R\cap Sa + Se\cap Sa + Se\cap R\cap Sa\\\\26 = \overline{Sa}+3+14+5\\\\ \overline{Sa}=26 - 22\\\\\Large\boxed{\boxed{ \overline{Sa}=4}}\Huge\checkmark\end{array}$

$\Large\checkmark$ Assim, até o momento, na verdade temos: $\overline{Se}$ = 12 alunos; $\overline{R}$: 11 alunos e $\overline{Sa}$: 4 alunos.

$\blacksquare$ Cálculo dos alunos que não gostam de nenhum gênero musical (Nd):

$\large\begin{array}{l} 90 = \overline{Se} + \overline{R} + \overline{Sa} + Se \cap R + R\cap Sa + Se\cap Sa + Se\cap R \cap Sa + Nd\\\\90 = 12+11+4+10+3+14+5+Nd\\\\Nd = 90 - 59\\\\\Large\boxed{\boxed{Nd = 31}}\Huge\checkmark \end{array}$

$\Large\checkmark$ Assim, 31 alunos não ouvem nenhum dos gêneros.

Vide Diagrama de Venn em anexo para ilustrar a situação calculada.

$\blacksquare$ Resposta:

$\Large\checkmark$ Portanto, Item A, 31 alunos não gostam de nenhum desses gêneros musicas, e item B, 4 alunos gostam APENAS de Samba.

$\blacksquare$ Se quiser saber mais, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/38395853