Question

Num grupo de 10 elfos e trolls, cada um recebeu uma ficha numerada de 1 a 10, um número diferente
para cada ficha. Foi perguntado a cada um deles qual era o número de sua ficha e suas respostas foram números de 1 a 10. A soma dos números dados nas respostas era 36. Cada elfo disse a verdade e cada troll disse
uma mentira. Qual é o menor número de trolls que poderia haver no grupo?
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 7

Answer 1

Resposta:

Letra B

Explicação passo-a-passo:

canguru ne?

Answer 2

O menor número de trolls que poderia haver no grupo é: 3 (alternativa B)

Para começar, notemos primeiramente que a soma dos 10 primeiros números naturais é 55. Você pode fazer isso a mão mesmo ou usando a fórmula da soma dos n termos de uma progressão aritmética considerando que o primeiro termo é 1, a razão é 1 e temos 10 termos.

$S_{10} =1+2+3+...+10=\frac{(1+10)\cdot10}{2} =55$

Para encontrar o número mínimo de trolls no grupo, vamos fazer suposições sobre cada caso e considerar os casos extremos e verificando que acontece em cada situação. Mas antes, é preciso supor que cada um deles não ouve a resposta do outro sobre o número da ficha!

→Tem-se apenas 1 troll no grupo.

    Se isso é verdade, ele mentirá quando perguntado sobre seu número.  Dessa forma, a soma do grupo fica:

Soma dos números pegos pelos 9 elfos + número falado pelo troll

Dado que o troll tira um número entre 1 e 10, no caso mais extremo ele pode pegar o 1 e falar que tirou o 10, e daí a soma fica

• 55 - 1 (verdadeiro número que tirou) + 10 ( número que falou) = 64

        Ou seja, a maior soma do grupo é 64.

No outro caso extremo, o troll pode pegar o 10 e falar que tirou o 1. Dessa forma:

• 55 - 10 (verdadeiro número que tirou) + 1 ( número que falou) = 46

        Ou seja, a menor soma do grupo é 46.

Logo, se existe um troll no grupo apenas, a soma dos números dados nas respostas por eles está entre 46 e 64.

→São 2 trolls no grupo.

Considerando essa hipótese, a soma do grupo fica:

Soma dos números pegos pelos 8 elfos + números falado pelos 2 trolls

Dado que os trolls tiram um número entre 1 e 10, no caso mais extremo eles podem pegar o 1 e o 2 e falarem que ambos tiraram o 10, e daí a soma fica

• 55 - (1 + 2) (verdadeiro número que tiraram) + (10+10) ( número que falaram) = 72

        Ou seja, a maior soma do grupo é 72.

No outro caso extremo, o trolls podem pegar o 10 e 9 e falarem que tiraram o 1. Dessa forma:

• 55 - (10+9) (verdadeiro número que tiraram) + (1+1) ( número que cada um falou) = 46

        Ou seja, a menor soma do grupo é 38.

Logo, se existem dois trolls no grupo, a soma dos números dados nas respostas por eles está entre 38 e 72.

→São 3 trolls no grupo.

Considerando agora esse cenário, a soma do grupo fica:

Soma dos números pegos pelos 7 elfos + números falado pelos 3 trolls

Dado que os trolls tiram um número entre 1 e 10, no caso mais extremo eles podem pegar o 1, 2 e 3 e falarem que ambos tiraram o 10, e daí a soma fica

• 55 - (1 + 2+3) (verdadeiro número que tiraram) + (10+10+10) ( número que falaram) = 79

        Ou seja, a maior soma do grupo é 79.

No outro caso extremo, o trolls podem pegar o 10, 9 e 8 e falarem que tiraram o 1. Dessa forma:

• 55 - (10+9+8) (verdadeiro número que tiraram) + (1+1+1) ( número que cada um falou) = 46

        Ou seja, a menor soma do grupo é 31.

Logo, se existem três trolls no grupo, a soma dos números dados nas respostas por eles está entre 31 e 79.

Observe que 36 está compreendido nessa faixa. Logo, o número mínimo de trolls no grupo são 3.

(B) 3

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