Question

Num cilindro circular reto, a area lateral é30pi m² e a area total vale 48pi m², calcule seu volume

Answer 1

Olá Maria, havia falado que trata-se de um cone e não de um cilindro, pois bem, dada a área lateral e a área total, podemos montar um sistema:

$\begin{cases}A_l= \pi rg\\ A_t= \pi (r^2+rg)\end{cases}\to\begin{cases} \not\pi rg=30\not\pi \\ \not\pi (r^2+rg)=48\not\pi \end{cases}\to\begin{cases}rg=30~~(I)\\ r^2+rg=48~~(II)\end{cases}$

Feito isso, rg=30 na equação I, então podemos substituí-lo na equação II:

$r^2+30=48\\ r^2=48-30\\ r^2=18\\ r= \sqrt{18}\\ r=3 \sqrt{2}~m$

Achado o raio da base, vamos encontrar a medida da geratriz:

$rg=30\\ 3 \sqrt{2}*g=30\\\\ g= \dfrac{30}{3 \sqrt{2} }\\\\\\ g= \dfrac{30*3 \sqrt{2} }{(3 \sqrt{2})*(3 \sqrt{2})}~\to~g= \dfrac{90 \sqrt{2} }{18}~\to~g=5 \sqrt{2}~m$

Usando o teorema de Pitágoras, vamos achar a altura, já que possuímos o raio da base (um dos catetos) e a geratriz (hipotenusa):

$g^2=r^2+h^2\\ (5 \sqrt{2})^2=(3 \sqrt{2})^2+h^2\\ h^2+9*2=25*2\\ h^2+18=50\\h^2=50-18\\ h^2=32\\ h= \sqrt{32}\\ h=4 \sqrt{2}~m$

Agora podemos encontrar o volume deste cone:

$V= \dfrac{ \pi~r^2h}{3}\\\\\\ V= \dfrac{ \pi(3 \sqrt{2})^2*4 \sqrt{2} }{3}\\\\ V= \dfrac{18*4 \sqrt{2} \pi }{3}\\\\ V= \dfrac{72 \sqrt{2} \pi }{3}\\\\ \boxed{V=24 \sqrt{2}\pi~cm^3}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))