Question

Num certo jogo de azar, apostando-se uma quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes: 1) perde-se a quantia X apostada; 2) recebe-se a quantia 2X. Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2 centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por diante, apostando em cada vez o dobro do que havia apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela perdeu. Na 21ª vez, ela ganhou. Determine, em função da quantia total T por ela desembolsada, a quantia Q recebida na 21ª jogada

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

=> Quantia total desembolsada

As apostas formam uma PG de razão 2, PG(1, 2, 4, ...)

A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por:

$\sf S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$

$\sf S_{21}=\dfrac{1\cdot(2^{21}-1)}{2-1}$

$\sf S_{21}=\dfrac{2^{21}-1}{1}$

$\sf S_{21}=2^{21}-1$

A quantia total desembolsada foi $\sf T=2^{21}-1$

=> 21ª aposta

$\sf a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$\sf a_{21}=1\cdot2^{21-1}$

$\sf a_{21}=1\cdot2^{20}$

$\sf a_{21}=2^{20}$

=> Quantia recebida

$\sf Q=2\cdot2^{20}$

$\sf Q=2^{1+20}$

$\sf Q=2^{21}$

Lembre-se que $\sf T=2^{21}-1$

Logo:

$\sf T=Q-1$

$\sf \red{Q=T+1}$