Question

Nos vértices de um triângulo equilátero de lado 6 m estão presas estacas de madeira. Em uma delas há um cachorro preso por uma coleira atingindo uma distância máxima de 2 m. a área aproximada do terreno não atingida pelo cachorro é: (use √3 = 1,7 e π = 3)
(A) 13,3 m²
(B) 14 m²
(C) 15,2 m²
(D) 16 m²

Answer 1

Vamos pensar assim:

• Digamos que esse cachorro esteja na primeira estaca, ele possuirá uma distância máxima de 2m para dentro do terreno, então podemos desenhar um círculo, pois se esse cachorro fizer uma volta completa com a distância máxima que ele alcança, isso formará um círculo de raio 2m.

Tendo desenhado isso, você também pode notar que forma-se um setor circular e é de nosso conhecimento que é possível calcular a área de um setor circular, a fórmula é dada por:

$\boxed{\sf As = \frac{\pi.r {}^{2} . \alpha }{360 {}^{ \circ} } }$

O único dado que é desconhecido é o valor do ângulo (alfa), mas não é difícil descobrir, pois como um triângulo possui a soma dos ângulos internos igual a 180° e um triângulo equilátero possui três ângulos iguais, basta dividir 180° por 3.

$\sf 180 {}^{ \circ} \div 3 = 60 {}^{ \circ}$

Substituindo os dados:

$\sf As = \frac{3.2 {}^{2} .60}{360} \\ \\ \sf As = \frac{3.4.60}{360 } \\ \\ \sf As = \frac{720}{360 } \\ \\ \boxed{\sf As = 2m {}^{2} }$

Essa é a área máxima que o cachorro alcança.

Agora vamos calcular a área do terreno, para isso, basta substituir os dados na fórmula da área do triângulo equilátero:

$\sf A \triangle = \frac{l {}^{2} \sqrt{3} }{4} \\ \\ \sf A \triangle = \frac{6 {}^{2} .1 ,7}{4} \\ \\ \sf \sf A \triangle = \frac{36 \: . \: 1 ,7 }{4} \\ \\ \sf \sf A \triangle = \frac{61,2}{4} \\ \\ \sf \boxed{\sf A \triangle = 15,3m {}^{2} }$

Para finalizar e descobrir a área que o cachorro não alcança, basta subtrair da área do triângulo a área que o cachorro alcança.

$\sf At = \sf A \triangle - \sf A _{cachorro} \\ \\ \sf At = 15,3 - 2 \\ \\ \boxed{ \sf At = 13,3m {}^{2} }$

Espero ter ajudado