Question

Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do
personagem TOM MARVOLO RIDDLE" gerou a frase
I AM LORD VOLDEMORT".
Suponha que Harry quisesse formar todos os
anagrames de frase "I AM POTTER", de tal forma
que as vogais e consoantes aparecessem sempre
intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre
as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é
dado por?​

Answer 1

Alternativa E: nessas condições, o número de anagramas é dado por 4!x5!/2!.

Esta questão está relacionada com análise combinatória. Por meio da análise combinatória, é possível estudar e definir a quantidade de maneiras diferentes que um evento pode ocorrer. Dentre os métodos de análise combinatória, temos o arranjo, a permutação e a combinação, entre outros.

Os anagramas são todas as maneiras de escrever uma palavra mudando as letras de lugares. A quantidade de anagramas de uma palavra é calculada por meio do fatorial do número de letras existente.

Nesse caso, veja que a expressão "I AM POTTER" possui nove letras, sendo cinco consoantes e quatro vogais.

Para escrever anagramas com vogais e consoantes alternando de posição, devemos começar com uma consoante, pois possui uma letra a mais. Assim, temos 5 possibilidades de consoante para a primeira letra.

Depois, temos 4 possibilidades de vogais, 4 possibilidades de consoantes, 3 de vogais, 3 de consoantes... E assim, sucessivamente, até formar a palavra.

Logo, o número de combinações disponíveis é:

5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1

Veja que podemos agrupar esses fatores em dois fatoriais: 5! x 4!.

Contudo, temos uma letra que se repete: T, que aparece duas vezes. Por isso, devemos dividir o valor anterior por 2!.

Portanto, nessas condições, o número de anagramas é dado por:

$Anagramas=\dfrac{5!\times 4!}{2!}$

Answer 2

O número de anagramas formados é dado por $\frac{5!\cdot 4!}{2!} = 1440$.

Para responder essa questão, é necessário observar que a frase "I AM POTTER" possui 4 vogais e 5 consoantes. Sendo assim, para que vogais e consoantes fiquem intercaladas entre si há apenas uma forma de distribuí-las. Seja V a letra que represente uma vogal e seja C a letra que represente as consoantes, elas deverão ter a seguinte disposição:

C V C V C V C V C

Dessa forma, deve-se analisar as maneiras de distribuir as vogais e as consoantes separadamente. Primeiramente, no caso das consoantes, percebe-se que há 5 delas, sendo 2 repetidas (há 2 T's). Assim, a quantidade de anagramas possíveis considerando apenas as consoantes é igual a:

$\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} =60$

Já no caso das vogais, vê-se que há 4 vogais e não há nenhuma repetida. Sendo assim, o número de anagramas possíveis que podem ser formados com as vogais é 4! = 24.

Como o objetivo da questão é saber quantos anagramas podem ser formados considerando tanto as consoantes quanto as vogais, é necessário multiplicar o número possível de anagramas de vogais e consoantes. Sendo assim, o número de anagramas será igual a $24\cdot 60 = 1440$.

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