Question

Nos itens abaixo vocˆe encontrar ́a equa ̧c ̃oes diferenciais lineares de pri- meira ordem na forma dy dx = q(x), onde temos que y ́e fun ̧c ̃ao que de- pende de x. Em cada item encontre a solu ̧c ̃ao geral para cada equa ̧c ̃ao diferencial dada. a. dy dx = x 3

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais lineares.

Seja a seguinte equação diferencial linear de primeira ordem:

$\dfrac{dy}{dx}=x^3$

Devemos encontrar as soluções $y=y(x)$ desta equação.

Primeiro, multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$

$dy=x^3\,dx$

Integre ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int dy=\int x^3\,dx}$

Para calcular estas integrais, utilize a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$ e lembre-se que $\displaystyle{\int dy=\int 1\,dy=\int y^0\,dy}$.

$\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C_1=\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+C_2$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$y+C_1=\dfrac{x^4}{4}+C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade e faça $C_2-C_1=C$, uma constante arbitrária.

$y=\dfrac{x^4}{4}+C,~C\in\mathbb{R}$

Estas são as soluções desta equação diferencial linear.