Question

Nos exercícios a seguir, use indução matemática para provar que as proposições dadas são verdadeiras para todo inteiro positivo n.

a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n − 2) = 2n²;
b) 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1);
c) (2^n) + (−1)^n+1 é divisível por 3;

Answer 1

a) P[n] é 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n²

- Quando n = 1, tem-se que 4.1 - 2 = 2 = 2.1².

Portanto, P[1] é válida.

Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário fixado. Ou seja, suponha que vale 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n². Deve-se provar que 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) + (4n + 2) = 2(n + 1)², isto é, que P[n + 1] é verdade.

Demonstração:

2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) + (4n + 2) = 2n² + 4n + 2 = 2(n² + 2n + 1) = 2(n + 1)²

Portanto, P[n + 1] é verdadeira. Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ∈ IN, P[n] ⇒ P[n + 1].

Logo, pelas etapas acima e pelo Princípio da Indução Matemática, tem-se que P[n] é válida para todo n ∈ IN, cqd.

b) P[n] é 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n(2n - 1).

- Quando n = 1, tem-se que 4.1 - 3 = 1 = 1(2.1 - 1).

Portanto, P[1] é válida.

Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário fixado. Ou seja, suponha que vale 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n(2n - 1). Deve-se provar que 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) + (4n + 1) = (n + 1)(2n + 1), isto é, que P[n + 1] é verdade.

Demonstração:

1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) + (4n + 1) = n(2n - 1) + 4n + 1 = 2n² - n + 4n + 1 = 2n² + 3n + 1 = (n + 1)(2n + 1)

Portanto, P[n + 1] é verdadeira. Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ∈ IN, P[n] ⇒ P[n + 1].

Logo, pelas etapas acima e pelo Princípio da Indução Matemática, tem-se que P[n] é válida para todo n ∈ IN, cqd.

c) P[n] é $2^n + (-1)^{n+1}$ é divisível por 3.

- Quando n = 1, tem-se que: 2¹ + (-1)² = 2 + 1 = 3 é divisível por 3.

Portanto, P[1] é válida.

Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário fixado. Ou seja, suponha que vale $2^n + (-1)^{n+1}$. Deve-se provar que $2^{n+1} + (-1)^{n+2}$ é divisível por 3, isto é, que P[n + 1] é verdade.

Perceba que quando n é par, teremos uma potência de 2 somada com 1, o que resulta em um número divisível por 3.

Quando n é ímpar, teremos uma potência de 2 subtraída de 1, o que resulta em um número divisível por 3.

Portanto, P[n + 1] é verdadeira. Como o natura n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ∈ IN, P[n] ⇒ P[n + 1].

Logo, pelas etapas acima e pelo Princípio da Indução Matemática, tem-se que P[n] é válida para todo n ∈ IN, cqd.