Question

Nos casos abaixo a, b e c são medidas dos lados de um triângulo retângulo. Determine o seno, o cosseno e a tangente de cada um dos ângulos agudos desse triângulo.
A) a=5 cm, b=3 cm e c=√34 cm
B) a=4 cm e a hipotenusa mede b=10 cm

(PRECISO DOS CÁLCULOS)

Answer 1

Por favor, adote as imagens em anexo para a resolução da questão.

A) Nesse item, os ângulos requeridos são x e y.

Ângulo x:
⇒ Seno
$sen x= \frac{CAT _{oposto}}{hipotenusa} = \frac{a}{c}$
$senx= \frac{5}{ \sqrt{34} }$
$senx= \frac{5}{ \sqrt{34} } . \frac{ \sqrt{34} }{ \sqrt{34} }$
$senx= \frac{5 \sqrt{34} }{34}$

⇒ Cosseno
$cosx= \frac{CAT _{adjacente} }{hipotenusa} = \frac{b}{c}$
$cosx= \frac{3}{ \sqrt{34} }$
$cosx= \frac{3}{ \sqrt{34} } . \frac{ \sqrt{34} }{ \sqrt{34} }$
$cosx= \frac{3 \sqrt{34} }{34}$

⇒ Tangente
$tgx= \frac{CAT _{oposto} }{CAT_{adjacente} }= \frac{a}{b}$
$tgx= \frac{5}{3}$

Ângulo y:
Para esse ângulo, podemos descobrir o seno e o cosseno de outra forma mais fácil.
De acordo com uma propriedade trigonométrica, o seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento, e vice-versa. Portanto, como sabemos que os ângulos AĈB (x) e BÂC (y) são complementares (x+y=90º), podemos aplicá-la.

Assim:
⇒ Seno
$seny=cosx$
$seny= \frac{3 \sqrt{34} }{34}$

⇒ Cosseno
$cosy=senx$
$cosy= \frac{5 \sqrt{34} }{34}$

⇒ Tangente
A tangente será dada pelo inverso da tangente de x. Assim:
$tgy= \frac{1}{tgx} = \frac{1}{ \frac{5}{3} }$
$tgy= \frac{1}{1}. \frac{3}{5}$
$tgy= \frac{3}{5}$

B) Nesse item podemos fazer de duas formas distintas. Para abranger mais conhecimentos, vamos deixar o Teorema de Pitágoras de lado (que seria utilizado para descobrir o cateto c) e aplicar mais uma propriedade trigonométrica, dessa vez, a relação fundamental.

Primeiro, iremos descobrir as características do ângulo z, que é o que podemos fazer por agora.
⇒ Seno
$senz= \frac{CAT _{oposto} }{hipotenusa} = \frac{a}{b}$
$senz= \frac{4}{10}$
$senz= \frac{2}{5}$

⇒Cosseno
Pela relação fundamental, temos que $(senz) ^{2} +(cosz) ^{2} =1$.
Portanto:
$( \frac{2}{5} ) ^{2} +(cosz) ^{2}=1$
$(cosz)^{2} =1- \frac{4}{25}$
$(cosz)^{2}= \frac{25-4}{25}$
$cosz= \sqrt{ \frac{21}{25} }$
$cosz= \frac{ \sqrt{21} }{5}$

⇒ Tangente
$tgz= \frac{senz}{cosz}$
$tgz= \frac{ \frac{2}{5} }{ \frac{ \sqrt{21} }{5} }$
$tgz= \frac{2}{5} . \frac{5}{ \sqrt{21} } = \frac{2}{ \sqrt{21} }$
$tgz= \frac{2}{ \sqrt{21} }. \frac{ \sqrt{21} }{\sqrt{21} }$
$tgz= \frac{2 \sqrt{21} }{21}$

Ângulo w
Novamente utilizando a primeira relação que usamos:
⇒ Seno
$senw=cosz$
$senw= \frac{ \sqrt{21} }{5}$

⇒ Cosseno
$cosw=senz$
$cosw= \frac{2}{5}$

⇒ Tangente
$tgw= \frac{1}{tgz} = \frac{1}{ \frac{2 \sqrt{21} }{21} }$
$tgw= \frac{1}{1}. \frac{21}{2 \sqrt{21} }$
$tgw= \frac{21}{2 \sqrt{21} }. \frac{ \sqrt{21} }{ \sqrt{21} }$
$tgw= \frac{21 \sqrt{21} }{2.21}$
$tgw= \frac{ \sqrt{21} }{2}$

UFA!!!

Espero ter ajudado. Abraço!!!