Question

No universo ℝ, determine o conjunto-solução das equações:

Answer 1

a) $\frac{x^2 + 1}{4} + \frac{1}{x^2} = \frac{3}{2}$

MMC = 8x²

$\frac{2x^2(x^2+1)}{8x^2} + \frac{8}{8x^2} = \frac{12x^2}{8x^2}$

4x⁴ + 2x²b+ 8 = 12x²

4x⁴+ 2x² - 12x² + 8 = 0

4x⁴ - 10x² + 8 = 0 (simplifica por 2)

2x² - 5x + 4 = 0

y² = x ∴ y = √x - regra para resolver equações biquadradas. Trocamos as variáveis, resolvemos e extraímos a raiz quadrada das raízes.

2y² - 5y + 4 = 0

Δ = (-5)² - 4.2.4

Δ = 25 - 32

Δ = -7

S = ∅

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b) m - √2m + 2 = 3

Nas equações com radical separamos os termos semelhantes e depois elevamos ao quadrado os dois membros da equação para eliminar os radicais.

- ( $(\sqrt{2m + 2} )^2  = ( 3 - m) ^2$

- 2m + 2 = 3² - 2.6 m + m²

- 2m + 2 = 9 - 12m + m²

m² - 12m + 2m + 9-2 = 0

m² - 10m + 7 = 0

Δ = 72

m' = [- (-10) + √72]  : 2 ∴ m' =  [10 + √72]/2 ∴ m' =[10 + 6√2]/2 ∴ m' = 5 + 3√2

m'' = 5 - 3√2

S = {5 +√2, 5- 3√2}

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c)  $\sqrt{m-1 + }\sqrt{2m-2}  = 2^2$

$(\sqrt{m-1 + }\sqrt{2m-2} )^2 = 2^2$

m-1 + $\sqrt{2m - 2} = 4$

$\sqrt{2m - 2} = 4 - m + 1$

$\sqrt{2m - 2 } = - m + 5$

($\sqrt{2m-2}) ^2 = ( m- 5)^2$

2m - 2 = ( 5 - m)²

2m - 2 = 25 - 10m + m²

m² - 10m - 2m + 25 + 2 = 0

m² - 12m + 27 = 0

Δ = 36

m' = [12 + 6]/2 ∴ m' = 18/2 ∴ m' = 9

m'' = (12-6)/2 ∴ m'' = 6/2 ∴ m'' = 3

S = {3,9}

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d) 5x⁴ + 2x² - 3 = 0

   y = x² ou y = √x

   5y² + 2y - 3  = 0

   Δ = 64

   y' = (-2+8)/2.5 ∴ y' = 6/10 = 3/5

   y'' = -10/10 ∴y'' = -1 (não serve por ser negativo)

   y' = √x' ∴ y' = √3/√5 ∴ y' = 3√5/5

S ={- 3√5/5, +3√5/5}

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e) √x + $\sqrt{x + 12} = 6$

    ($\sqrt{ x + 12} ) ^2 = ( 6 - \sqrt{x}) ^2$

    x + 12 = 36 - 12√x + (√x)²

    x + 12 = 36 - 12√x + x

    12 = 36 - 12√x

    12 - 36 = - 12√x

    - 24 =  - 12√x

      24 = 12√x

      24² = (12√x)²

      576 = 144x

      x = 576 : 144

      x = 4

     S = {4}

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f) $(\sqrt{x + 2} )^2 = ( 4 - x) ^2$

$\sqrt{x + 2} = 4 -x\\ x + 2 = 16 - 8x + x^2\\x^2 - 8x - x + 16 - 2 = 0\\x^2 - 9x + 14 = 0$

Δ = 25

x' = [-(-9) = 5} / 2 ∴ x' = 14/2 ∴ x' = 7

x'' =( 9 -5 ) /2 ∴ x'' = 4/2 ∴ x'' = 2

S ={ 7,2}

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g) p⁴ - 11p² + 18 = 0

   p² = x ou p = √x

   p² - 11p + 18 = 0

   Δ = 121 - 72

  Δ = 49

x' = [- (-11) +√49] /2 ∴ x' = (11 + 7)/2 ∴ x' = 18/2 ∴ x' = 9

x'' = (11-7)/2 ∴ x'' = 4/2 ∴ x'' = 2

p' = √x'

p' = ⁺/₋√9

p' = ⁺/₋3

p'' = ⁺/₋√2

S ={-√2, √2, -3, 3}