Question

No universo [0, 2\pi], a solução da equação 2cos2 x + cos⁡x = 0 é:


a)

\left\{0,\pi,2\pi,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right\}



b)

\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}



c)

\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right\}



d)

\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}

Answer 1

2cos²(x) + cos(x) = 0

Substitua cos(x) por uma variável qualquer:

2y² + y = 0

y( 2y + 1 ) = 0

y' = 0

y" = -1/2

___________

Devolvendo os valores a cos(x):

→ cos(x) = 0

No intervalo definido, há duas soluções:

π/2 e 3π/2 ( 90° e 270° )

→ cos(x) = -1/2

Segue o raciocínio: O cosseno é negativo no segundo e terceiro quadrante, logo há duas soluções.
Sabemos dos arcos notáveis que cos(60°) = 1/2, então -1/2 estará presente nos arcos:

(180° - 60°) = 120°

(180° + 60°) = 240°

Convertendo esses ângulos em radiano, temos:

2π/3 e 4π/3

__________________

Por fim, as soluções são:

$x =\Large{ \begin{cases} { \pi \over 2} \\\\ { 3 \pi \over 2} \\\\ { 2\pi \over 3} \\\\ { 4\pi \over 3} \end{cases}}$

Resposta: $\mathbf{ Letra \: c)}$