No triângulo XYZ o ponto D, no lado YZ, pertence à mediatriz do lado XZ. Se XD é a bissetriz do ângulo interno no vértice X e se a medida do ângulo interno em Y é 105 graus, então, a medida, em graus, do ângulo interno em Z é
Soluções para a tarefa
As alternativas são:
a) 30
b) 20
c) 35
d) 25
Solução
De acordo com os dados do enunciado, observe a figura abaixo.
Considere que o segmento DE representa a mediatriz do triângulo XYZ referente ao lado XZ.
A mediatriz é perpendicular ao lado correspondente, ou seja, DE é perpendicular a XZ.
Além disso, a mediatriz passa pelo ponto médio do segmento, ou seja, E é o ponto médio do lado XZ e XE = EZ.
Como XD é a bissetriz do ângulo X, então YZD = DXZ = a.
Considere que o ângulo correspondente ao vértice Z é b.
Perceba que os triângulos XED e ZED são semelhantes. Sendo assim, podemos afirmar que a = b.
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
Logo,
105 + a + a + a = 180
3a = 75
a = 25 = b.
Portanto, a alternativa correta é a letra d).
A medida, em graus, do ângulo interno em Z é:
d) 25
Explicação:
Pela descrição do enunciado, foi construído o triângulo XYZ.
A mediatriz do lado XZ determina o ponto D no lado YZ.
Assim, o triângulo XDZ é isósceles, com XD = DZ.
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes, isto é, têm a mesma medida.
Sendo α a medida do ângulo DXZ, temos:
DXZ = DZX = α
Como XD é a bissetriz do ângulo interno no vértice X, temos:
YXD = α
A soma dos ângulos internos de um triângulo mede 180°. Então, no triângulo XYZ, tem-se:
105° + 2α + α = 180°
105° + 3α = 180°
3α = 180° - 105°
3α = 75°
α = 75°/3
α = 25°
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