Question

No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12 cm e o cateto BC mede 6 cm. Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a

a) √2/7
b) √3/7
c) 2/7
d) 2√2/7
e) 2√3/7

Answer 1

A tangente do ângulo MAC é igual a √3/7.

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que o cateto AB mede:

AC² = AB² + BC²

12² = AB² + 6²

144 = AB² + 36

AB² = 108

AB = 6√3 cm.

O cateto AB é oposto ao ângulo C, enquanto que o cateto BC é adjacente ao ângulo C.

Então, pela razão trigonométrica tangente:

tg(C) = AB/AC

tg(C) = 6√3/6

tg(C) = √3

C = 60º.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, podemos concluir que o ângulo A mede 30º.

Vamos considerar que o ângulo BAM mede x. Então, o ângulo MAC mede 30 - x.

Devemos calcular a medida da tangente do ângulo 30 - x.

Para isso, utilizaremos a seguinte propriedade:

$tg(a-b)=\frac{tg(a)-tg(b)}{1+tg(a).tg(b)}$.

Logo:

$tg(30-x)=\frac{tg(30)-tg(x)}{1+tg(30).tg(x)}$.

O valor da tangente de x obtemos no triângulo ABM:

tg(x) = 3/6√3

tg(x) = 1/2√3

tg(x) = √3/6.

A tangente de 30º é igual a √3/3.

Portanto:

$tg(30-x)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{6}}$

$tg(30-x)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{1+\frac{3}{18}}$

$tg(30-x)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{7}{6}}$

$tg(30-x)=\frac{\sqrt{3}}{7}$.

Alternativa correta: letra b).

Para mais informações sobre triângulo retângulo: https://brainly.com.br/tarefa/19814462