Question

No triângulo retângulo ABC abaixo, BH é altura e BD é mediana. Determine α.

a. 15°
b. 20°
c. 25°
d. 32°

Answer 1

A medida do ângulo α é 50°.

• Se BD é mediana relativa ao triângulo ABC então o ponto D é médio de AC. Observe a figura anexa.
• O triângulo ABC foi inscrito em uma circunferência pois, se ele é retângulo em B então a base AC é diâmetro da circunferência, o ângulo ABC é ângulo inscrito relativo ao arco AC (180°). Dessa forma DA, DB e DC são raios da circunferência e portanto congruentes. Assim o triângulo ABD é isósceles.

• Usando a propriedade: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

• No triângulo ABC:

a + 20 + 90 = 180°

a = 180 − 20 − 90

a = 70°

• No triângulo ABH:

a + 90 + β = 180°

70 + 90 + β = 180°

β = 180 − 70 − 90

β = 20°

• Se o triângulo ABD é isósceles (com base AB) então os ângulos da base são congruentes, portanto m(∠ABD) = 70°.

m(∠ABD) = b = 70°

• Observe que

α + β = b

α + 20 = 70

α = 70 − 20

α = 50°

A medida do ângulo α é 50°.

Não há alternativa correta.

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