Question

No triângulo retângulo abaixo, calcule sen x + cos x – tg x.

A) 43/13

B) 20/13

C) 43/20

D) 13/20

E) 13/43 ​

Answer 1

O valor da expressão sen x + cos x – tg x é 13/20, que é a resposta contida na alternativa D.

Explicação

Para a resolução desta questão, precisamos relembrar as definições seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.

Observe, na figura fornecida, que x é um ângulo agudo. O seno deste ângulo é igual à razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa, isto é:

$\Large\text{ \text{sen}\,x=\dfrac{3}{\text{BC}}. }$

O cosseno de x é igual à razão entre a medida do cateto adjacente a x e a medida da hipotenusa, ou seja:

$\Large\text{ \cos x=\dfrac{4}{\text{BC}}. }$

A tangente de x, por sua vez, corresponde à razão entre a medida do cateto oposto a x e o cateto adjacente a x. Simbolicamente, temos:

$\Large\text{tg}\,x=\dfrac{3}{4}.$

Note que, para sabermos os valores do seno e do cosseno do ângulo x, necessitamos da medida da hipotenusa (BC).

Seja BC = a. Usando o Teorema de Pitágoras, segue que:

$\Large\begin{gathered}a^2=3^2+4^2\\\\a^2=9+16\\\\a^2=25\\\\a=\sqrt{25}\\\\\boxed{a=5}\end{gathered}$

Consequentemente, temos:

$\Large\text{sen}\,x=\dfrac{3}{5}$

e

$\Large\cos x=\dfrac{4}{5}.$

Desejamos calcular o valor de sen x + cos x – tg x. Substituindo os valores encontrados, decorre que:

$\Large\begin{aligned}\text{sen}\,x+\cos x-\text{tg}\,x&=\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{4}\\\\&=\dfrac{3+4}{5}-\dfrac{3}{4}\\\\&=\dfrac{7}{5}-\dfrac{3}{4}\\\\&=\dfrac{28-15}{20}\\\\&=\dfrac{13}{20}.\end{aligned}$

Confirma-se, assim, que a resposta correta é a alternativa D.

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