Question

No triângulo equilátero a seguir, a altura mede 2√3cm. Determine a soma das áreas dos quadrados.
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Answer 1

Resposta:

48cm²

Explicação passo-a-passo:

Como o triangulo é equilatero, já sabemos que seus tres angulos internos possuem a mesma medida, que vale 60°.

Com essa informação, podemos dizer também, que os tres quadrados possuem a mesma área, porque eles posuem a mesma madida de lado (que corresponde a medida dos lados do triangulo).

Sabemos que, a altura (h) de um triangulo equilátero, passa exatamente no beio de sua base correspondente. E também, que essa altura divide por dois, o ângulo oposto a essa mesma base (veja na figura anexa)

Como sabemos a medida da altura desse triangulo, podemos encontrar o valor do lado (a) do triangulo (e consequentemente dos quadrados), por pitágoras:

(hipotenusa)²=(cateto)²+(cateto)²

Nesse caso:

hipotenusa = a

cateto = a/2

cateto = altura = $2\sqrt3$

Com isso, temos que:

$a^2=(\frac{a}{2})^2+(2\sqrt3)^2\\ a^2=\frac{a^2}{4}+4(\sqrt3)^2\\\\ a^2=\frac{a^2}{4}+4(\sqrt3)^2\\\\ a^2=\frac{a^2}{4}+4(3)\\\\ a^2=\frac{a^2}{4}+12\\\\\frac {4a^2}{4}=\frac{a^2}{4}+12\\\\\frac {4a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=12\\\\\frac {3a^2}{4}=12\\\\3a^2=48\\\\a^2=\frac{48}{3}=16\\\\a= \sqrt{16}\\a=4\\a=-4$

Como a é uma medida, o -4 não convem.

Assim a área de um quadrado é igual a 4² = 16. Como temos tres quadrados, a resposta sera 16+16+16 = 48 cm²