Question

No triângulo ABC, retângulo em A, aBc = α, AC = 3 e AB = tg α. Então, o perímetro do triângulo vale?

Answer 1

Veja a imagem que anexei
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Calculando a tangente de α no triângulo:

$tg~\alpha=\dfrac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}\\\\\\tg~\alpha=\dfrac{3}{tg~\alpha}\\\\\\tg~\alpha\cdot tg~\alpha=3\\\\\\(tg~\alpha)^{2}=3\\\\\\\boxed{\boxed{tg~\alpha=\sqrt{3}~~~\therefore~~~\alpha=60\º}}$

Calculando a hipotenusa do triângulo:

$sen~\alpha=\dfrac{3}{x}\\\\\\sen~60\º=\dfrac{3}{x}\\\\\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{x}\\\\\\x\sqrt{3}=6\\\\\\x=\dfrac{6}{\sqrt{3}}\\\\\\x=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}\\\\\\\boxed{\boxed{x=2\sqrt{3}}}$

Lados do triângulo: 3, √3 e 2√3

Calculando o perímetro do triângulo:

$2P=3+\sqrt{3}+2\sqrt{3}\\2P=3+3\sqrt{3}\\\\\boxed{\boxed{2P=3(\sqrt{3}+1)}}$

Answer 2

Segundo dados do problema, triângulo ABC retângulo em A, formando ângulo α no ponto aBc e  AC = 3 e AB = tg α .
Do triângulo tiramos:
tg α = lado oposto
           lado adjacente
tgα =  3⇒
           tg α
tg² α = 3⇒tg α =√3⇒α = 60º
tg 30º = √3 ⇒
                 3
x² = (3)²  + (√3)²      Pitágoras
x² = 9 + 3⇒  x=√12⇒x =2√3
perímetro é a soma de todos os lados do triângulo:
2√3 + 3 + √3 =3(√3 +1)