Question

No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, o ângulo  mede 30°. Determine quanto mede o ângulo B:
a) 39°
b) 42°
c) 45°
d) 48°
e) 51°

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{b)}~\blue{ 42^{\circ} }~~~}}$

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

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☺lá, Abolk, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas, e após o resultado você encontrará um resumo sobre Lei dos Senos que talvez te ajude com exercícios semelhantes no futuro. ✌

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☔ Inicialmente  vamos desenhar nosso triângulo

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){9.7}}\put(0,0){\line(2,3){3}}\put(3,4.5){\line(3,-2){6.7}}\bezier(0.45,0.65)(0.8,0.6)(0.9,0)\put(1,0.2){ 30^{\circ} }\bezier(8.7,0.65)(8.5,0.7)(8.45,0)\put(8.7,0.2){ \beta }\put(3,4.1){ \gamma }\bezier(2.75,4.1)(3.2,3.7)(3.55,4.1)\put(3.5,4.5){B}\put(-0.6,0){A}\put(9.9,0){C}\put(6.5,2.5){\LARGE \sf 6 }\put(4.5,-0.8){\LARGE \sf 8 }\end{picture}\end{picture}$  

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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☔ Pela Lei dos Senos temos que

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➡ $\large\blue{\sf \dfrac{6}{sen(30)} = \dfrac{8}{sen(\gamma)} }$

➡ $\large\blue{\sf \dfrac{6}{0,5} = \dfrac{8}{sen(\gamma)} }$

➡ $\large\blue{\sf 12 = \dfrac{8}{sen(\gamma)} }$

➡ $\large\blue{\sf sen(\gamma) = \dfrac{8}{12} }$

➡ $\large\blue{\sf sen(\gamma) = \dfrac{2}{3} }$

➡ $\large\blue{\sf \gamma = sen^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right) }$

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☔ Com uma tabela para aproximações dos valores de seno encontramos que

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➡ $\large\blue{\sf \gamma \approx 42^{\circ} }$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{b)}~\blue{ 42^{\circ} }~~~}}$ ✅

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$\LARGE\sf\red{LEI~DOS~SENOS}$

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☔ Tomemos um triângulo ABC escaleno qualquer e tracemos a sua altura com relação a uma base qualquer (tomemos BC como base, por exemplo)

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){7}}\put(3.8,0){\line(0,1){4.7}}\put(7,0){\line(-1,11){3.18}}\put(0,0){\line(2,21){3.8}}\put(4,4.9){\Large \sf A }\put(-0.5,0){\Large \sf B }\put(7.2,0){\Large \sf C }\bezier(0.7,0.8)(1.2,0.8)(1.3,0)\put(3.5,4){ \omega \ \lambda }\put(0.7,0.2){ \beta }\put(6.3,0.2){ \phi }\bezier(6.5,0.7)(6,0.5)(6.1,0)\bezier(3.2,4)(3.8,3.6)(4.3,4)\put(4,0.7){\Large \sf D }\put(3.3,0.5){\line(1,0){1}}\put(3.3,0){\line(0,1){0.5}}\put(4.3,0){\line(0,1){0.5}}\put(4.05,0.25){\circle*{0.13}}\put(3.55,0.25){\circle*{0.13}}\end{picture}$

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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☔ Temos, nestes dois triângulos retângulos formados, as duas relações de seno a seguir:

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$\begin{cases}\large\blue{\text{ \sf~I)~sen(\beta) = \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}~~\iff~~\overline{AD} = sen(\beta) \cdot \overline{AB} }}\\\\\\ \large\blue{\text{ \sf~II)~sen(\phi) = \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AC}}~~\iff~~\overline{AD} = sen(\phi) \cdot \overline{AC} }} \end{cases}$

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☔ Sendo AD = AD então temos que

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➡ $\Large\blue{\sf sen(\beta) \cdot \overline{AB} = sen(\phi) \cdot \overline{AC} }$

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$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{ \dfrac{\overline{AC}}{sen(\beta)} = \dfrac{\overline{AB}}{sen(\phi)} }}}$

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☔ Se repetirmos este mesmo processo para as outras duas alturas/ bases do triângulo notaremos que as relações se mantém de forma que

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \dfrac{AC}{sen(\beta)} = \dfrac{AB}{sen(\phi)} = \dfrac{BC}{sen(\alpha)}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

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