no triângulo ABC da figura, sabemos que PM // BC, e AD é a bissetriz interna do ângulo Â. Nessas condições, qual é o perímetro do triângulo ABC e do trapézio PBCM?
Soluções para a tarefa
O perímetro do triângulo ABC é 52,5 e o perímetro do trapézio PBCM é 40.
O teorema da bissetriz interna diz que:
Em qualquer triângulo, uma bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
Sendo assim, podemos dizer que:
BD/AB = CD/AC.
Da figura, temos que BD = 7, AB = 10 + 4 = 14, CD = y e AC = x + 6. Então:
7/14 = y/(x + 6)
7(x + 6) = 14y
x + 6 = 2y
x = 2y - 6.
Como PM é paralelo a BC, então os triângulos ABC e APM são semelhantes. Assim:
10/14 = x/(x + 6)
10(x + 6) = 14x
10x + 60 = 14x
4x = 60
x = 15.
Consequentemente:
15 + 6 = 2y
21 = 2y
y = 10,5.
Além disso, temos que:
10/(z + 8) = 14/(7 + 10,5)
10/(z + 8) = 14/17,5
10.17,5 = 14(z + 8)
175 = 14z + 112
14z = 63
z = 4,5.
Portanto, o perímetro do triângulo ABC é:
2P = 14 + 17,5 + 21
2P = 52,5.
O perímetro do trapézio PBCM é:
2P = 4 + 6 + 12,5 + 17,5
2P = 40.