Question

No triângulo ABC da figura abaixo, calcule das medidas BC e AB

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que:

• $\boxed{\overline{BC}\approx4,03cm }$;
• $\boxed{\overline{AB}\approx6,57cm}$.

Explicação

Temos as seguintes informações:

$\bf\overline{AC} = 10, \: \: B\hat{A}C= 15^o \: \: e \: \: A\hat{B}C = 140^{o}$

O objetivo é determinarmos $\overline{BC}$ e $\overline{AB}$.

• Lei dos senos:

Pela figura fornecida, podemos observar que dois lados do triângulo são desconhecidos e de certa forma os três ângulos são conhecidos.

• Esta ideia de saber o ângulo e não conhecer o lado, nos dá a possibilidade da aplicação da Lei dos Senos, dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\boxed{ \frac{ \sin\alpha }{ a } = \frac{ \sin \beta }{ b} = \frac{ \sin\gamma }{ c} }$

• Esta expressão acima nos diz que a medida de cada lado do triângulo divida pelo seno do ângulo oposto é sempre igual.

Antes de substituirmos os dados na relação, temos que buscar o valor do terceiro ângulo, que por mais que seja conhecido, deve-se realizar um pequeno cálculo para sabermos o seu valor.

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• Teorema angular de Tales:

Como sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, podendo ser provado através de geometria ou algebrismo.

$S_i = 180^{o} (n-2) \: \to \begin{cases}n \to \: lados \\ S_i \to \: Soma \: dos \: \hat{a}ngulos \: internos \end{cases}$

• O triângulo em si possui 3 lados, ou seja, temos n = 3. Logo:

$S_i = 180 {}^{o} ( 3-2) \: \to \: \boxed{S_i = 180 {}^{o} }$

Através da figura anexada, podemos ver que dois ângulos são determinados instantaneamente, já o terceiro é oculto, para encontrá-lo, devemos utilizar esta ideia da soma ser 180°. Digamos então que o ângulo desconhecido seja x. Logo:

$\begin{cases}x + 140 {}^{o} + 15 {}^{o} = 180 ^{o} \\ x = 180 {}^{o} - 140 {}^{o} - 15 {}^{o} \\ x = 180 {}^{o} - 155 {}^{o} \\ \boxed{x = 25 {}^{o}} \end{cases}$

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Tendo encontrado o terceiro ângulo, vamos agora substituir os dados na Lei dos Senos.

• Lembrando que a única medida que sabemos é $\bf \overline{AC}= 10cm$, que corresponde ao valor de b.

$\frac{ \sin(15) {}^{o} }{ \overline{BC}} = \frac{ \sin(140 {}^{o}) }{10} = \frac{ \sin(25 {}^{o}) }{ \overline{ A B} }$

Como ambos são iguais, podemos separar de dois em dois, utilizando o dado que é conhecido.

• Segmento BC:

$\frac{ \sin(15) {}^{o} }{ \overline{BC}} = \frac{ \sin(140 {}^{o}) }{10} \: \to \: \overline{BC} = \frac{10 \sin(15 {}^{o} )}{ \sin(140 {}^{o} )} \\ \\ \overline{BC} \approx 4,03cm$

• Segmento AB:

$\frac{ \sin(140 {}^{o}) }{10} = \frac{ \sin(25 {}^{o}) }{ \overline{ A B} } \: \to \: \overline{ A B} = \frac{10 \sin(25 {}^{o}) }{ \sin(140 {}^{o}) } \\ \\ \overline{ A B} \approx6,57cm$

• Lembrando que o valor do seno destes ângulos são tabelados.

Espero ter ajudado.

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