Question

No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz interna do vértice A, determine a medida do segmento AC

Answer 1

Há diferentes formas de fazer o mesmo exercício, a opção que vou abordar nesta resolução utiliza a Lei dos Senos.

Assim, pra acompanhar mais facilmente a resolução, utilize a edição feita na figura (anexo).

Vamos começar aplicando a lei dos senos no triangulo ABD:

$\dfrac{AB}{sen(\beta)}~=~\dfrac{BD}{sen(\alpha)}\\\\\\Substituindo~os~valores\\\\\\\dfrac{12}{sen(\beta)}~=~\dfrac{6}{sen(\alpha)}\\\\\\Multiplicando~cruzado\\\\\\6\cdot sen(\beta)~=~12\cdot sen(\alpha)\\\\\\\boxed{sen(\beta)~=~2sen(\alpha)}$

Agora, aplicando a lei dos senos no triangulo ACD:

$\dfrac{CD}{sen(\alpha)}~=~\dfrac{AC}{sen(180^\circ-\beta)}\\\\\\Note~que~~~\boxed{sen(180^\circ-\beta)~=~sen(\beta)}\\\\\\Substituindo\\\\\\\dfrac{9}{sen(\alpha)}~=~\dfrac{AC}{sen(\beta)}\\\\\\\dfrac{9}{sen(\alpha)}~=~\dfrac{AC}{2sen(\alpha)}\\\\\\Multiplicado~cruzado\\\\\\AC\cdot sen(\alpha)~=~9\cdot2sen(\alpha)\\\\\\AC~=~\dfrac{9\cdot2sen(\alpha)}{sen(\alpha)}\\\\\\\boxed{AC~=~18~cm}$

Answer 2

Resposta:

AC=18cm

A medida do segmento AC é 18cm