No triângulo ABC a circunferência é tangente aos lados do triângulo nos pontos D,E, F. Sabendo que os lados do triângulo medem AB= 10 cm, BC 11cm e CA=9cm. Determine o comprimento do segmento BD
Soluções para a tarefa
Queremos achar o comprimento do segmento de reta BD.
Para achá-lo, trace 3 raios do centro aos pontos D,E e F, respectivamente. Em seguida, trace um segmento que parta do vértice do triângulo ABC e chegue ao centro da circunferência. Com isso feito, perceba a existência de 6 novos triângulos retângulos (1 e 1', 2 e 2', 3 e 3').
Esses triângulos são congruentes dois a dois. Isso porque eles possuem os três lados iguais (dois lados iguais: raio e segmento do vértice ao centro, e o terceiro pelo teorema de Pitágoras é igual nos dois triângulos). Veja na imagem como equacionamos da melhor forma.
Resposta: BD = 6 cm
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Considerando que a circunferência é tangente aos lados do triângulo ABC, descobrimos que o comprimento do segmento BD é 6 cm.
Segmentos tangentes à circunferência
Como a circunferência é tangente aos lados do triângulo ABC nos pontos indicados, formam-se segmentos tangentes a uma circunferência a partir de um mesmo ponto (os pontos A, B e C). Eles são congruentes.
Então, temos:
- AE = AF = x
- BE = BD = y
- CD = CF = z
Como AB = 10 cm, BC = 11 cm e CA = 9 cm, temos:
x + y = 10
y + z = 11 => z = 11 - y
x + z = 9
x + z = 9
x + (11 - y) = 9
x - y = 9 - 11
x - y = - 2
Sistema de equações pelo método da adição:
{x + y = 10
+ {x - y = - 2
2x + 0y = 8
2x = 8
x = 8/2
x = 4
x + y = 10
y = 10 - x
y = 10 - 4
y = 6
Mais uma tarefa sobre segmentos tangentes em:
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#SPJ2
