Question

No triângulo ABC, A(3,1) é um dos vértices, N(1,4) é o ponto médio de BC e M(4,2) é o ponto médio de AB. Calcule as coordenadas dos vértices B e C e o baricentro do triângulo.
Preciso do desenvolvimento completo, obrigada!

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Sabemos que o ponto médio é a igual a média das abscissas e ordenadas dos pontos A, B e C.

Temos que a ponto médio de AB é igual a:

$\large\boxed{Xm = \frac{xa + xb}{2} }$

Temos o valor da coordenada A(3,1), ou seja:

A(3,1) → Xa = 3, Ya = 1

Temos também que o ponto médio de AB é igual a coordenada M(4,2), ou seja:

M(4,2) → Xm = 4 , Ym = 2

Com isso, conseguimos perceber que da para achar os valores das coordenadas de B através desses dados:

$Xm = \frac{xa + xb}{2} \\ \\ 4 = \frac{3 + xb}{2} \\ 2.4 = 3 + xb \\ 8 = 3 + xb \\ xb = 8 - 3 \\ \boxed{\boxed{xb = 5}}$

Sabendo a coordenada de Xb = 5, vamos atrás da coordenada de Yb, para isso vamos usar a segunda fórmula do ponto médio.

Tal fórmula é dada por:

$\large\boxed{Ym = \frac{ya + yb}{2 }}$

Substituindo:

$Ym = \frac{ya + yb}{2} \\ \\ 2 = \frac{1 + yb}{2} \\ 2.2 = 1 + yb \\ 4 = 1 + yb \\ yb = 4 - 1 \\ \boxed{\boxed{yb = 3}}$

Agora achamos a coordenada de B que é:

B(5,3) → Xb = 5, Yb = 3

Agora vamos em busca da coordenada de C.

Temos que o ponto médio de BC é dado pela coordenada N(1,4), ou seja.

N(1,4) → Xm = 1, Ym = 4

A fórmula do ponto médio entre BC é dada por:

$\large \boxed{Xm = \frac{xb + xc}{2} }$

Pelos dados que possuímos, podemos encontrar o valor de Xc.

$Xm = \frac{xb + xc}{2} \\ \\ 1 = \frac{5 + xc}{2} \\ 2.1 = 5 + xc \\ 2 = 5 + xc \\ xc = 2 - 5 \\ \boxed{\boxed{ xc = - 3}}$

Vamos fazer a mesma coisa para encontrar Yc, usando a fórmula do ponto médio de BC:

$\large\boxed{Ym = \frac{yb + yc}{2}}$

Substituindo:

$Ym = \frac{yb + yc}{2} \\ \\ 4 = \frac{3 + yc}{2} \\ 2.4 = 3 + yc \\ 8 = 3 + yc \\ yc = 8 - 3 \\ \boxed{\boxed{yc = 5}}$

Obtemos a coordenada do ponto C, que é:

C(-3,5) → Xc = -3, Yc = 5

Agora para finalizar, vamos calcular o Baricentro que é bem parecido com o cálculo do ponto médio.

Baricentro possui as seguintes fórmulas para encontrar as sua coordenada:

$\large \begin{cases}Gx = \frac{xa + xb + xc}{3} \\ \\ Gy = \frac{ya + yb + yc}{3} \end{cases}$

Substituindo os dados:

$Gx = \frac{xa + xb + xc}{3} \\ Gx = \frac{3 + 5 - 3}{3} \\ \boxed{\boxed{Gx = \frac{5}{3} }}$

$Gy = \frac{ya + yb + yc}{3} \\ Gy = \frac{1 + 3 + 5}{3} \\ Gy = \frac{9}{3} \\ \boxed{\boxed{Gy = 3}}$

Portanto, a coordenada do Baricentro é:

G(5/3 , 3) → Gx = 5/3 , Gy = 3

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️