Question

NO TRIANGULO ABAIXO, DETERMINE AS MEDIDAS DE X E Y.

Answer 1

135° + 15° = 150°

180° - 150° = 30°

Portanto, o outro ângulo mede 30°

Pela lei dos senos, temos:

√2 / sen 30° = y / sen 15° = x / sen 135°

sen 15° = sen (45° - 30°) = sen 45° .  cos 30° - sen 30° . cos 45 = 
              = √2/2 . √3/2 - 1/2 . √2/2 = √6/4 - √2/4 = (√6 - √2) / 4

√2 / sen 30° = y / sen 15°
√2 / 1/2 = y / (√6 - √2) / 4
√2 . 2/1 = y . 4 / (√6 - √2)
2√2 = 4y / (√6 - √2) ⇒ 2√2 . (√6 - √2) = 4y
2√12 - 2√4 = 4y
2√2².3 - 2.2 = 4y
2.2√3 - 4 = 4y 
4√3 - 4 = 4y
√3 - 1 = y

Portanto y = √3 - 1

sen 135° = sen (180° - 135) = sen 45° = √2/2

√2 / sen 30° = x / sen 135°
√2 / 1/2 = x / √2/2
√2 . 2/1 = x . 2/√2
2√2 = 2x / √2 ⇒ 2√2 . √2 = 2x
2.√4 = 2x
2.2 = 2x
4 = 2x ⇒ x = 4/2 = 2

Portanto, x = 2

Answer 2

As medidas X e Y são, respectivamente, 2 e √3 - 1.

Esta questão está relacionada com a lei dos senos. A lei dos senos indica que a razão entre a medida de um triângulo e o seno de seu ângulo oposto é a mesma para todas as medidas desse triângulo. Considerando um triângulo A, B e C e seus ângulos opostos α, β e θ, temos a seguinte relação:

$\frac{A}{sen(\alpha)}=\frac{B}{sen(\beta)}=\frac{C}{sen(\theta)}$

Nesse caso, veja que o último ângulo em questão deve ser igual a 30º, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º. A partir desse ângulo e seu lado oposto, que mede √2 unidades de medidas, é possível determinar as medidas X e Y por meio da igualdade entre as razões. Portanto:

$\frac{\sqrt{2}}{sen(30)}=\frac{x}{sen(135)} \rightarrow \boxed{x=2} \\ \\ \frac{\sqrt{2}}{sen(30)}=\frac{y}{sen(15)} \rightarrow \boxed{y=\sqrt{3}-1}$

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