Question

No triângulo abaixo calcule as medidas b e c.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Para encontrar b utilizaremos a Lei dos Senos (I) que é uma relação de proporção para encontrar os lados de um triângulo que não é retângulo sabendo seus ângulos. Dado um triângulo de lados a, b e c e ângulos opostos a eles respectivamente $\alpha, \beta, \gamma$ temos que:

$\dfrac{a}{sen \ \alpha} = \dfrac{b}{ sen \ \beta} = \dfrac{c}{ sen\ \gamma}$

Pra seu exercício, lembrando que:

$sen \ 60 =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$            $sen \ 45 =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Vamos utilizar a (I) para calcular os lados.

$\dfrac{\sqrt{2}}{sen \ 45} = \dfrac{b}{ sen \ 60} \implies \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2} } = \dfrac{b}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} }$

Multiplicando cruzado temos:

$\dfrac{b\sqrt{2}}{2}= \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$b = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180, o que nos dá que o valor do ângulo oposto a c é 180 - 60 - 45 = 75. Para utilizarmos novamente a Lei dos Senos, precisamos primeiro encontrar o sen 105. Observe que o seno da soma de dois arcos pode ser calculado pela fórmula:

$sen (a + b) = sen \ a . cos \ b + sen \ b . cos \ a$

Conhecido como: "minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a coseno bê  seno bê cosseno a".

Assim:

$sen \ 75 = sen \ ( 30 + 45) = sen \ 30.cos \ 45 + sen \ 45.cos \ 30$

$sen \ 75 = \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4}$

Vamos novamente usar (I) para calcular c:

$\dfrac{\sqrt{2}}{sen \ 45} = \dfrac{c}{ sen \ 75} \implies \dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2} } = \dfrac{c}{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} }$

Multiplicando cruzado temos:

$\dfrac{c\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{4}}{4}$

$4c\sqrt{2} = 2.(\sqrt{12}+\sqrt{4})\\2c\sqrt{2} = 2\sqrt{3}+2\\c\sqrt{2} = \sqrt{3}+2$

$c = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$c = \dfrac{\sqrt{6}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$c = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

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