Question

No triângulo a seguir, determine as medidas de b e c.

Preciso de ajuda urgente!!

Answer 1

Encontrando b:

Bem,começaremos aplicando a lei dos senos para descobrir o valor de b.Ela funciona da seguinte forma :você vai fazer a razão do seno de um ângulo pelo lado que está oposto a ele e vai igualar à razão do seno do outro ângulo pelo seu lado oposto(esses ângulos devem pertencer ao mesmo triângulo).

Ok,vamos aplicar isso que eu creio que irá ficar mais claro : Quando mede o lado que está oposto ao 45° ?V2,então:

$\frac{ \sin(45) }{ \sqrt{2} }$

E quanto é a medida do lado que está oposto ao 60° ?b,então:

$\frac{ \sin(60) }{b}$

Agora igualamos essas duas razões:

$\frac{ \sin(45) }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sin(60) }{b}$

Multiplique cruzado :

$\sqrt{2} . \sin(60) = b. \sin(45)$

60° e 45° são arcos notáveis,ou seja,você tem a obrigação de saber suas propriedades trigonométricas.Mas caso vc não lembre :

$\sin(60) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ e \\ \\ \sin(45) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Agora substituimos na equação e isolamos o b :

$\frac{ \sqrt{3} }{2} . \sqrt{2} = b \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ b = \frac{ \sqrt{3}. \sqrt{2} .2 }{2. \sqrt{2} } \\ \\ b = \sqrt{3}$

Encontrando o c:

Para achar o c iremos usar a lei dos cossenos.Vc poderia usar novamente a lei dos senos,eu vou optar por fazer usando a lei dos cossenos para deixar a questão mais completa.Primeiramente precisamos descobrir quando vale o ângulo que está de frente para o lado c.Vou chamar esse ângulo de "x".

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180 °,então:

45 + 60 + x = 180

105 + x = 180

X = 180 - 105

x = 75°

Mais lá na frente teremos que saber o valor do cosseno desse ângulo,mas...75 não é um arco notável e agora ?Podemos utilizar da soma de dois arcos notáveis para descobrir seu cosseno,partindo da seguinte fórmula:

$\cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)$

Precisamos utilizar dois arcos notáveis que a soma resulta em 75,ou seja, 30° e 45 ° :

$\cos(30 + 45) = \cos(45) \cos(30) - \sin(45) \sin(30)$

Você precisa saber o valor das propriedades trigonométricas desses arcos,mas caso vc não lembre,aqui as que vamos precisar para resolver esse problema :

$\sin(30) = \frac{1}{2} \: \: \: e \: \: \: \cos(30) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ \cos(45) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \: \: \: \: \: e \: \: \: \: \sin(45) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Ok,vamos substituir na fórmula:

$\cos(45 + 30) = \frac{ \sqrt{3} }{2} . \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{1}{2} . \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \cos(75) = \frac{ \sqrt{6} }{4} - \frac{ \sqrt{2} }{4} \\ \\ \cos(75) = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}$

Vamos finalmente aplicar a lei dos cossenos:

c² = a² + b² - 2.a.b.cos x

Sendo :

c=> O lado que está oposto ao ângulo que estamos usando como referência

a e b=> os lados adsjacentes a esse ângulo

x=> O Ângulo

Sendo assim :

${c}^{2} = { (\sqrt{2}) }^{2} + {( \sqrt{3} )}^{2} - 2. \sqrt{2} . \sqrt{3} . \frac{ (\sqrt{6} - \sqrt{2} )}{4} \\ \\ {c}^{2} = 2 + 3 - \sqrt{6} . \frac{( \sqrt{6} - \sqrt{2} }{2} \\ \\ {c}^{2} = 5 - \frac{ { (\sqrt{6} )}^{2} - \sqrt{12} }{2}$

${c}^{2} = 5 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} }{2} \\ \\ {c}^{2} = 5 - \frac{2(3 - \sqrt{3} )}{2} \\ \\ {c}^{2} = 5 - ( 3 - \sqrt{3} ) \\ \\ {c}^{2} = 2 + \sqrt{3} \\ \\ c = \sqrt{2 + \sqrt{3} }$

Espero ter ajudado,deixa qualquer dúvida aí nos comentários.Bons estudos :v