Question

no triângulo A B e C, de vértices A (4,10), B (1,4) e C (7,4), foi inscrito o triângulo PQR, tal que P, Q e R são os pontos médios de AC, AB e BC, respectivamente.
a) quais são as coordenadas dos pontos P, Q e R ?

b) determine as coordenadas do ponto G, baricentro do triângulo ABC e do ponto H, baricentro do triângulo PQR.

Answer 1

Oi Beth, tudo bem?

a) Vamos calcular então os pontos médios dos seguimentos a fim de encontrar as coordenadas de P, Q e R. Lembrando que os pares ordenados são do tipo (x,y).

Encontrando o ponto P:
$x_{P} = ( x_{A} + x_{C})/2 \\ x_{P} = (4 + 7)/2 \\ x_{P} = 11/2 \\ x_{P} = 5,5$

$y_{P} = (y_{A} + y_{C})/2 \\ y_{P} = (10+4)/2 \\ y_{P} = 14/2 \\ y_{P} = 7$

Portanto, o ponto P$y_{H} = (y_{P} + y_{Q} + y_{R})/3 \\ y_{H} = (7+7+4)/3 \\ y_{H} = 18/3 \\ y_{H}= 6$ tem coordenadas P(5,5;7).

Encontrando o ponto Q:
$x_{Q} = (x_{A} + x_{B})/2 \\ x_{Q} = (4+1)/2 = 5/2 = 2,5$

$y_{Q} = (y_{A} + y_{B} )/2 \\ y_{Q} = (10 + 4)/2 = 7$

Portanto, o ponto Q tem coordenadas Q(2,5;7).

Encontrando o ponto R:
$x_{R} = (x_{B}+ x_{C} )/2 \\ x_{R} = (1+7)/2 = 8/2 = 4$

$y_{R} = ( y_{B} + y_{C} )/2 \\ y_{R} = (4+4)/2 = 4$

Portanto, o ponto R tem coordenadas R(4;4).

b) As coordenadas do baricentro (ponto em que as três medianas do triângulo se encontram) podem ser determinadas a partir de uma média aritmética para suas abscissas e outra para suas ordenadas. Façamos isso para o triângulo ABC, primeiramente.

$x_{G} = ( x_{A} + x_{B} + x_{C})/3 \\ x_{G} = (4+1+7)/3 \\ x_{G} = 12/3 \\ x_{G} = 4$

$y_{G} = (y_{A} + y_{B} + y_{C} )/3 \\ y_{G} = (10+4+4)/3 \\ y_{G} = 18/3 \\ y_{G} = 6$

Logo, as coordenadas do baricentro do triângulo ABC são G(4;6).

Para encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo PQR, ou seja, do ponto H, faremos o mesmo processo, porém, com as coordenadas que encontramos na parte A.

$x_{H} =( x_{P} + x_{Q} + x_{R})/3 \\ x_{H} = (5,5 + 2,5 + 4)/3 \\ x_{H} = 12/3 \\ x_{H} = 4$

$y_{H}= (y_{P} + y_{Q} + y_{R})/3 \\ y_{H} = (7+7+4)/3 \\ y_{H} = 18/3 \\ y_{H} = 6$

Logo, as coordenadas do baricentro do triângulo PQR são H(4;6).

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida é só falar.