Question

No trapézio ABCD da figura a seguir, os
ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno
em D é tal que sua tangente vale 5/6. Se AD=2.AB, o
volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno
da reta por B e C é dado por:

Answer 1

CronoCT,

Inicialmente, vamos obter medidas que nos são fornecidas pela afirmativa de que a tangente do ângulo D é igual a 5/6.

A tangente de um ângulo é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. O cateto oposto é a medida de a:

a = 5

O lado AD mede 2a, então:

AD = 2 × 5

AD = 10

O cateto adjacente é igual 6. Então, o lado BC será igual a:

BC = AD - 6 

ou, como AD = 2a:

BC = 2a - 6

Como 2a = 10:

BC = 10 - 6

BC = 4

Obtidas estas medidas, podemos calcular agora o volume do sólido gerado quando o trapézio gira em torno do lado BC.

Este sólido pode ser considerado como a soma de dois sólidos: um cilindro e um cone.

O volume do cilindro é definido pelo raio de sua base (a = AB = 5) e pela sua altura (h = BC = 4).

A sua base é um círculo, cuja área é igual a:

Ab = π × r²

Ab = 3,14 × 5²

Ab = 78,5 (unidades ao quadrado)

O volume do cilindro, então, é igual a:

Vci = 78,5 × 4

Vci = 314 (unidades ao cubo)

O volume do cone (Vco) é igual a 1/3 do produto da área de sua base pela sua altura (h = 6 = cateto adjacente do ângulo D).

 A base do cone é a mesma do cilindro. Então:

Vco = 78,5 × 6 ÷ 3

Vco = 157 (unidades de medida ao cubo)

Então, o volume do sólido gerado pelo giro do trapézio (Vt) será igual a:

Vt = Vci + Vco

Vt = 314 + 157

Vt = 471 (unidades de medida ao cubo)

Ou, então:

Vt = [πa²(AD - BC) ÷ 3] + [πa² × BC]