Question

No sistema massa-mola abaixo, a massa m do bloco vale 0,300 kg e a constante elástica k da mola vale 1500 N/m. ​​​​​​​Considere que no instante zero o bloco é solto, do repouso, de uma posição que fica a 20 cm da posição de equilíbrio do sistema, no sentido positivo do movimento. Neste caso, a função da posição para o sistema massa mola, em unidades do SI, é dada por:

Answer 1

Resolvendo a EDO do movimento oscilatório, temos que a função posição da particula é: $x(t)=0,2.cos(50\sqrt{2}.t)$

Explicação:

Quando temos um sistema massa mola, a equação que usamos para força é:

$F=k.x$

Mas o que nós queremos descobrir é a equação X(t), que nos da a posição em funfção do tempo. Então vamos escrever nossa força da seguinte forma:

$F=-k.x$

$m.a=-k.x$

$m.\frac{d^2x}{dt^2}=-k.x$

$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}.x$

Vamos chamar k/m de ω² por comodidade:

$\frac{d^2x}{dt^2}=-(\omega)^2.x$

Agora note que esta é uma EDO de segundo grau com solução bem conhecida:

$x(t)=A.sen(\omega.t)+B.cos(\omega.t)$

Esta é a solução geral da EDO acima, mas para sabermos a solução especifica temos que introduzir nossa condição de contorno que é o fato de sabermos que em t=0 a mola esta em x=0,2, assim:

$x(t)=A.sen(\omega.t)+B.cos(\omega.t)$

$x(0)=A.sen(\omega.0)+B.cos(\omega.0)=0,2$

$x(0)=B.1=0,2$

$B=0,2$

Assim já sabemos parte da resposta:

$x(t)=A.sen(\omega.t)+0,2.cos(\omega.t)$

Agora a outra condição de contorno, é que no t=0 a velocidade da mola era 0, pois ele partiu do repouso, e como a velocidade é a derivada do espaço:

$x(t)=A.sen(\omega.t)+0,2.cos(\omega.t)$

$x'(t)=A.\omega.cos(\omega.t)-0,2.\omega.sen(\omega.t)$

$x'(0)=A.\omega.cos(\omega.0)-0,2.\omega.sen(\omega.0)=0$

$x'(0)=A.\omega.1-0,2.\omega.0=0$

$A.\omega=0$

$A=0$

Assim temos nossa equação de movimento completa:

$x(t)=0,2.cos(\omega.t)$

Substituindo ω por √k/m:

$x(t)=0,2.cos(\omega.t)$

$x(t)=0,2.cos(\sqrt{\frac{k}{m}}.t)$

$x(t)=0,2.cos(\sqrt{\frac{1500}{0,3}}.t)$

$x(t)=0,2.cos(\sqrt{5000}.t)$

$x(t)=0,2.cos(\sqrt{25.2.100}.t)$

$x(t)=0,2.cos(50\sqrt{2}.t)$

Assim temos que a função posição da particula é: $x(t)=0,2.cos(50\sqrt{2}.t)$

Answer 2

Resposta:

x (t) = 0,20sen (70,7 t)