No sistema decimal, o total de números, com todos os algarosmos distintos, maiores que 50.000 e menores que 90.000 e que são divisíveis por 5 é:
a) 1.596
b) 2.352
c) 2.686
d) 2.788
e) 4.032
Soluções para a tarefa
A resposta correta está na letra B, 2.352.
Na resolução dessa questão podemos usar PFC (Princípio Fundamental da Contagem). Temos que pensar no seguinte:
- os números que queremos devem ter 5 algarismos;
- todos os algarismos devem ser distintos;
Nada novo até agora, então, vamos ao desenvolvimento da questão, onde devemos conhecer a quantidade de números disponíveis para cada um dos algarismos.
No primeiro algarismo podem estar presentes os números 5, 6, 7 e 8, porém, a presença do algarismo 5 interfere no último algarismo - nos obrigando a separar a resolução em duas partes.
A primeira parte vai aceitar apenas o 5 no primeiro algarismo, ou seja, apenas uma possibilidade. Temos:
1 * _ * _ * _ * _
Como comentado acima, a presença do 5 vai interferir no último, que poderá ter agora apenas o número 0 - pois o critério de divisibilidade por 5 faz com que o algarismo das unidades seja 0 ou 5. Assim, teremos:
1 * _ * _ * _ * 1
Nos algarismos centrais não existe nenhuma limitação especial, então, teremos o produto da quantidade de algarismos disponíveis pra cada "casa": 8, 7 e 6. Teremos:
1ª parte: 1 * 8 * 7 * 6 * 1
1ª parte: 8 * 7 * 6
1ª parte: 8 * 42
1ª parte: 336
Na segunda parte da resolução poderemos aceitar no primeiro algarismo 3 possibilidades: 6, 7 e 8. Assim, teremos:
3 * _ * _ * _ * _
Na última casa, já que o 0 e 5 estão disponíveis, teremos 2 possibilidades:
3 * _ * _ * _ * 2
No algarismos centrais, podemos adicionar a quantidade restante, como foi feito no caso anterior. Teremos:
2ª parte: 3 * 8 * 7 * 6 * 2
2ª parte: 24 * 42 * 2
2ª parte: 24 * 84
2ª parte: 2.016
Agora que temos o resultado das duas partes da resolução, basta soma-las e encontrar a quantidade de números desejados. Teremos:
n° = 336 + 2.016
n° = 2.352
Com isso, a resposta correta está na alternativa B.
Resposta:
divisíveis por 5 ==>final 0 ou 5
início {6,7,8} para final 5
início {5,6,7,8} para final 0
Final 5
3 * 8 * 7 * 6 * 1 = 1008
Final 0
4 * 8 * 7 * 6 * 1 = 1344
Total = 1008 + 1344 = 2.352 números