Question

No sistema de numeração decimal, existem _____ números que são múltiplos de 5 e têm três algarismos distintos. Para que a frase anterior fique correta, devemos completá-la com:

A 212

B 100

C 162

D 136

E 96

Answer 1

Vamos la, 

Analisa-se que, para serem múltiplos de 5, esses números de três algarismos deverão terminar em 5 ou 0. Então, é necessário descobrir de quantas maneiras isso é possível.

Primeira possibilidade: usando o zero no final:

_ _ _0 É preciso ver que são "3 algarismos distintos", ou seja, os algarismos não se repetem no mesmo número.

Assim, no nosso sistema decimal, de dez algarismo ( 0 a 10 ), a quantidade de possibilidades para a primeira posição é de 9 (pois o zero já foi usado), para a segunda é de 8 (pois um já foi usado antes)

Assim, a quantidade de números com essas características será o número de possibilidades para a primeira posição vezes o número de possibilidades da segunda posição vezes o da última posição, que só poderá ser 1 único algarismo, o 0.

Portanto, 9*8*1=72, ou seja, há 72 maneiras de criar números com três algarismos distintos, de modo que a última posição seja ocupada pelo algarismo 0.

Segunda possibilidade: usando o cinco no final:

_ _ _5 É preciso ver que são "3 algarismos distintos", ou seja, os algarismos não se repetem no mesmo número.

Assim, no nosso sistema decimal, de dez algarismo ( 0 a 10 ), a quantidade de possibilidades para a primeira posição é de 8 (pois o zero não pode ser usado nessa posição e o 5 já foi usado), para a segunda é de 8 (pois não poderá ser o número anterior ou o 5, mas poderá ser o algarismo 0) . A da última posição só poderá ser 1 único algarismo, o 5.

Assim, a quantidade de números com essas características será o número de possibilidades para a primeira posição vezes o número de possibilidades da segunda posição vezes o número de possibilidades para a terceira posição vezes .

Portanto, 8*8*1=64, ou seja, há 64 maneiras de criar números com três algarismos distintos, de modo que a última posição seja ocupada pelo algarismo 5.

Desse modo, para descobrirmos quantos números com três algarismos distintos é possível formar com o nosso sistema decimal, bastará somar a quantidade de possibilidades com 5 ao final e com o 0 no fim. 

72 + 64 = 136. Vê-se, assim, que é possível formar 136 números de 3 algarismos distintos que sejam múltiplos de 5 com nosso sistema decimal.