Question

No sistema de logarítmos decimais, sejam log2=0.3 e log3= 0.48. A solução da equação
${0.1}^{2x} = 0.12$
em R(reais) é um número tal que:​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Visto que:

$\log_{a}[a] = 1$

Se aplicarmos logaritmo na base 0.1 dos dois lados da equação:

$\log_{0.1}[0.1]^{2\cdot x} = \log_{0.1}[0.12]$

Sabendo que:

$\log_{a}[b]^c = c \cdot \log_{a}[b]$

Podemos escrever o problema como:

$2 \cdot x \cdot \log_{0.1}[0.1] = \log_{0.1}[0.12]$

ou:

$2 \cdot x \cdot 1 = \log_{0.1}[0.12]$

De acordo com a propriedade da mudança de base dos logaritmos:

$\log_{c}[b] = \dfrac{\log_{a}[b]}{\log_{a}[c]}$

Então, mudando para base 10, o problema fica:

$2 \cdot x = \dfrac{\log_{10}[0.12]}{\log_{10}[0.1]}$

Mas, $0.1 = 10^{-1}$. Desta forma, reescrevemos:

$2 \cdot x = \dfrac{\log_{10}[0.12]}{\log_{10}[10]^-1}$

Usando mais uma vez a propriedade do exponencial do logaritmo:

$2 \cdot x = \dfrac{\log_{10}[0.12]}{-1 \cdot \log_{10}[10]}$

Com base e logaritmando iguais no denominador:

$2 \cdot x = \dfrac{\log_{10}[0.12]}{-1 \cdot 1}$

Ou:

$2 \cdot x = -\log_{10}[0.12]$

Mas:

$0.12 = \dfrac{12}{100} = \dfrac{3 \cdot 4}{10^2} = \dfrac{3 \cdot 2^2}{10^2}$

Ou seja, pode-se reescrever a equação da seguinte forma:

$2 \cdot x = -\log_{10}\left[\dfrac{3 \cdot 2^2}{10^2}\right]$

Temos, de acordo com as propriedades de logaritmos que:

$\log_a[b\cdot c] = \log_a[b] + \log_a[c]$ e $\log_a\left[\dfrac{b}{c}\right] = \log_a[b] - \log_a[c]$

Assim:

$2 \cdot x = -(\log_{10}[3] + \log_{10}[2]^2 - \log_{10}[10]^2)$

Utilizando a propriedade do exponencial de volta:

$2 \cdot x = -(\log_{10}[3] + 2 \cdot \log_{10}[2] - 2 \cdot \log_{10}[10])$

Com base e logaritmando iguais na  última parte, substituimos este logaritmo por 1:

$2 \cdot x = -(\log_{10}[3] + 2 \cdot \log_{10}[2] - 2 \cdot 1)$

O enunciado diz que: $\log_{10}[2] = 0.3$ e $\log_{10}[3] = 0.48$. Substituindo estes valores na equação :

$2 \cdot x = -(0.48 + 2 \cdot 0.3 - 2 )$

Ou:

$2 \cdot x = -(0.48 + 0.6- 2 )$

Assim:

$2 \cdot x = 1.88$

Agora ficou fácil:

$\boxed{x = \dfrac{1.88}{2} = 0.94}$