Question

No sistema de coordenadas seguinte estão representados os gráficos de duas funções, f e g. A lei que define f é f(x) = a + b · 2× (a e b são constantes reais positivas) e g é uma função afim.
a) Determine os valores de a e b.
b) Determine as raízes de f e de g.

Answer 1

a) Valores de a e b: a = 1 e b = 2

b) Raízes: f ⟹ S = { } e g ⟹ S = { 3 }

• A função $\large \sf f(x) = a+b \cdot 2^{^X}$ é uma função exponencial e g(x) é uma função afim na forma: g(x) = m + n⋅x, onde m é o coeficiente linear e n é o coeficiente angular.

• A partir dos pontos fornecidos no gráfico determine os parâmetros a e b da função f(x).

• Do gráfico: p/ x = 0 ⟹ f(x) = 3

$\large \sf f(x) = a+b \cdot 2^{^X}$

3 = a + b⋅2⁰

3 = a + b⋅1

a + b = 3 ①

• Do gráfico: p/ x = 1 ⟹ f(x) = 5

$\large \sf f(x) = a+b \cdot 2^{^X}$

5 = a + b⋅2¹

5 = a + b⋅2

a + 2b = 5 ②

• Subtraia as equações ② e ① membro a membro.

a + 2b = 5

a + b = 3 ⊖

b = 2

• Substitua o valor de b na equação ① e determine o valor de a.

a + b = 3

a + 2 = 3

a = 3 − 2

a = 1

• Escreva a função f(x).

$\large \sf f(x) = a+b \cdot 2^{^X}$

$\large \sf f(x) = 1+2 \cdot 2^{^X}$

ou

$\large \sf f(x) = 1+ 2^{\left(x+1\right)}$

• Determine as raízes de f(x). Sua(s) raiz(es) é o valor de x para f(x) = 0.

$\large \sf f(x) = a+b \cdot 2^{^X}$

$\large \sf 0 = 1+2 \cdot 2^{^X}$

$\large \sf 2 \cdot 2^{^X} = -1$

$\large \sf 2^{^X} = -\dfrac{1}{2}$

• Observe que a função 2ˣ será sempre positiva portanto não há um valor de x para o qual 2ˣ seja negativo, portanto f(x) não possui raiz.
• Escreva o conjunto solução.

S = { }

• Observe ainda que para valores positivos de x, a função f(x) é crescente e para valores negativos de x, 2ˣ tende a zero e portanto f(x) tende a 1.

$\large \sf f(x) = 1+2 \cdot 2^{^X}$  ⟹ p/ x tendendo a −∞.

$\large \text { \sf f(x) = 1+2 \cdot 2^{^{-\infty}} }$

$\large \text { \sf f(x) = 1+\dfrac {2}{2^{^{\infty}}} }$

$\large \text { \sf\dfrac {2}{2^{^{\infty}}} \ tende \ a \ zero \Longrightarrow \ f(x) \ tende \ a \ 1. }$

• Observe no gráfico que a linha tracejada horizontal representa portanto o valor y = 1.

• Determine os coeficientes da função afim.

g(x) = m + n⋅x

para x = 1 ⟹ g(x) = 1

1 = m + n⋅1

m + n = 1 ③

para x = −1 ⟹ o valor de g(x) coincide com f(x), então determine f(−1).

$\large \sf f(x) = 1+ 2^{\left(x+1\right)}$

$\large \sf f(-1) = 1+ 2^{\left(-1+1\right)} = 1 + 2^0 = 1 + 1$

f(−1) = 2

para x = −1 ⟹ g(x) = 2

g(x) = m + n⋅x

2 = m + n⋅(−1)

2 = m − n

m − n = 2 ④

• Some as equações ③ e ④ membro a membro.

m + n = 1

m − n = 2 ⊕

2m = 3

$\large \sf m = \dfrac{3}{2}$

• Subtraia as equações ③ e ④ membro a membro.

m − n = 2

m + n = 1 ⊖

−2n = 1

$\large \sf n = -\dfrac{1}{2}$

• Escreva a função g(x).

$\large \sf g(x) = \dfrac{3}{2} - \dfrac {1}{2}\cdot x$

• Determine a raiz da função g. Sua raiz é o valor de x para g(x) = 0.

$\large \sf 0 = \dfrac{3}{2} - \dfrac {1}{2}\cdot x$

$\large \sf \dfrac {1}{2}\cdot x = \dfrac{3}{2}$  ⟹ Multiplique ambos os membros por 2.

x = 3

• Escreva o conjunto solução:

S = { 3 }

Resposta:

a) Valores de a e b.

a = 1

b = 2

b) Raízes:

f ⟹ S = { }

g ⟹ S = { 3 }