Question

No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
É correto afirmar que a área desse triângulo vale:
a)4
b)5
c)6
d)7
e)8
Obs:. Veja a foto

Answer 1

Saber quanto mede cada lado do triângulo não ajuda nesse caso, pois não sabemos quanto mede a altura. Então, podemos resolver de dois modos: 1º descobrindo o valor da altura (modo mais difícil) e 2º, pela fórmula do determinante para cálculo de áreas de triângulos. (mais fácil). Vamos lá. 

Sejam os pontos A(1,3), B(7,1) e C(3,5)

1° modo

Precisamos calcular a distância entre um vértice e a reta suporte do lado oposto a este vértice. Vamos calcular a distância do vértice C à reta suporte que passa por AB


Cálculo da altura:


$det = \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\1&3&1\\7&1&1\end{array}\right] = 0 \Rightarrow x\cdot \:2-y\left(-6\right)+1\cdot \left(-20\right) = 0\\\\\\ \Rightarrow 6y+2x-20\right) = 0$

Encontramos a equação da reta suporte, agora vamos calcular a distância do ponto C à reta 2x + 6y - 20 = 0


$d = \dfrac{|ax_C + by_C + c|}{ \sqrt{a^2 + b^2} } = \dfrac{|2 \cdot 3 + 6 \cdot 5 -20|}{ \sqrt{2^2 + 6^2} } = \dfrac{\left|2\cdot \:3+5\cdot \:6-20\right|}{\sqrt{40}} =\\\\ = \frac{16}{\sqrt{40}}\\\\ fatorando\;numerador\;e\;denominador,\;e\;racionalizando,\;obtemos\\\\ \dfrac{4\sqrt{10}}{5},\;\;a\;altura\;procurada.$


Cálculo da área:
A distância do lado AB mede:

$d_{AB} = \sqrt{\left(1-7\right)^2+\left(3-1\right)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$Área = \dfrac{base \cdot altura}{2} = \dfrac{2 \sqrt{10} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{5} }{2} = \dfrac{4\sqrt{10}\cdot \:2\sqrt{10}}{5} =\\\\ = \dfrac{80}{5} = \dfrac{16}{2} = 8$

Resposta: item (e) 8

2º modo:


Poderíamos obter a resposta de um modo mais rápido e fácil. Por meio do determinante.

$\acute{A}rea = \dfrac{1}{2} |D| \\\\ D = \left[\begin{array}{ccc}7&1&1\\1&3&1\\3&5&1\end{array}\right] = |7\left(-2\right)-1\cdot \left(-2\right)+1\cdot \left(-4\right)| = \\\\\\ =|-16| = 16\\\\ \acute{A} = \dfrac{1}{2}\cdot16 = \dfrac{16}{2} = 8$

Resposta: item (e) 8