Question

No sistema binário, quantos valores diferentes podem ser representados utilizando 16 dígitos?

Answer 1

Concorda comigo que em um numero binario de 16 posições, as possibilidades para cada posição são 2, ou 0(zero) ou 1(um)? sem contar a primeira posição, pois se ela for 0(zero) o numero terá apenas 15 posições.
1  2  2  2  2  2  2  2  2  2   2   2   2   2   2  2
1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12  13 14 15 16

Pegando exemplos menores com 2 e 3 posições podemos ver a quantidade de possibilidades escrevendo:

2 Elementos: 11, 10 certo? Escrevendo em posições temos que para 2 Elementos a
Possibilidade: 1  2, em português: na 1ª posição só a 1 possibilidade, e na
posições:       1  2                        2ª posição há 2 possibilidades
 
3 Elementos: 100, 101,110,111
3 Elementos: 1  2  2, em port.: na 1ª posição há 1 possibilidade, e nas restantes 
posições:      1  2  3                há 2 possibilidades

Note que o numero TOTAL de possibilidades é a multiplicação da possibilidade de casa posição, traduzindo:
Em 2 Elementos há 2 combinações no total, a 1ª posição com 1 e a 2ª posição com 2, multiplicando essas possibilidades temos o numero total de combinações possíveis. (1*2=2)
Em 3 Elementos há 4 combinações no total, a 1ª posição com 1 e as restantes com 2, multiplicando essas possibilidades temos o numero total de combinações possíveis. (1*2*2=4)

Então para cada posição escrevemos suas possibilidades, neste caso sabemos que não 15 posições com possibilidade de 2 numero (0 e 1) e 1 única posição que necessariamente é 1. Com isso temos que fazer: (1*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2), que é o mesmo que dizer: 1 * 2^15. Ou seja o numero de possibilidades para um numero binário de 16 posições é igual a 32768.