Matemática, perguntado por viihpekena, 4 meses atrás

No sistema abaixo temos Progressão Geométrica de razão q>1. Qual de seu primeiro termo a₁?

a) -16
b) -17
c) 16
d) 1
e) -1
f) 2

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀O valor do primeiro termo desta Progressão Geométrica é igual a – 1, correspondendo à alternativa e).

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Considerações

⠀⠀Foi nos dado o seguinte sistema de equações:

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$\LARGE\boldsymbol{\begin{array}{l}\begin{cases}a_1+a_5=-\,17~~_{(\,I\,)}\\a_2\cdot a_4=16~~~_{(\,II\,)}\end{cases}\end{array}}$

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⠀⠀Ele nos apresenta uma soma e um produto de alguns termos de uma P.G., e nosso objetivo é encontrar o valor de seu primeiro termo. Veja que a questão também nos diz que essa progressão possui razão $q > 1$ , isto é, sua razão é maior que 1, então guardemos essa informação pois será importante mais para frente.

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Resolução

⠀⠀Antes de tudo, usaremos a fórmula do termo geral da P.G. abaixo

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$\LARGE\boldsymbol{\begin{array}{l}a_n=a_1\cdot q^{n-1}\end{array}}$

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, onde $a_n$ : termo qualquer; $a_1$ : primeiro termo; $n$ : quantidade de termos; e $q$ : razão. Como buscaremos o primeiro termo também precisaremos da razão, então nosso intuito será aplicar essa formula nos termos das equações a fim de transparecer o primeiro termo e a razão.

⠀⠀Vamos estar resolvendo esse sistema pelo método da substituição, então primeiro aplicaremos a formula do termo geral e isolaremos $a_1$ na equação ( ɪ ), depois volto com mais detalhes:

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$\Large\begin{array}{c}a_1+a_5=-\,17\\\\a_1+a_1\cdot q^{5-1}=-\,17\\\\a_1+a_1\cdot q^4=-\,17\\\\a_1\cdot(1+q^4)=-\,17\\\\\!\boxed{a_1=-\,\dfrac{17}{1+q^4}}\end{array}$

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⠀⠀Beleza! Esse é o valor que vai definir nosso primeiro termo, só falta encontrarmos a razão $q$ , e para isso, seguindo o método da substituição, substituiremos o valor provisório de $a_1$ na equação ( ɪɪ ). Só que antes, também aplicaremos a formula supramencionada em seus termos:

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$\Large\begin{array}{c}a_2\cdot a_4=16\\\\a_1\cdot q^{2-1}\cdot a_1\cdot q^{4-1}=16\\\\a_1\cdot q^1\cdot a_1\cdot q^3=16\\\\a_1\,\!^2\cdot q^{1+3}=16\\\\a_1\,\!^2\cdot q^4=16\end{array}$

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⠀⠀Agora sim, substituindo o valor de $a_1$ e isolando $q$ , obtemos (lembrando que estamos usando bastante fatoração, produto notáveis e propriedades da potenciação):

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$\Large\begin{array}{c}\bigg(\!\!-\dfrac{17}{1+q^4}\bigg)^{\!2}\cdot q^4=16\\\\\dfrac{289}{(1+q^4)^2}\cdot q^4=16\\\\\dfrac{289q^4}{(1)^2+2\cdot1\cdot q^4+(q^4)^2}=16\\\\\dfrac{289q^4}{1+2q^4+q^8}=16\\\\\dfrac{289q^4}{q^0+2q^4+q^8}=16\\\\\dfrac{289q^4}{q^4\cdot(q^{-4}+2+q^4)}=16\\\\\dfrac{289}{q^{-4}+2+q^4}=16\\\\289=(q^{-4}+2+q^4)\cdot16\\\\289=16q^{-4}+32+16q^4\\\\289-32=\dfrac{16}{q^4}+16q^4\\\\257=\dfrac{16}{q^4}+16q^4\end{array}$

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$\Large\begin{array}{c}257\cdot q^4=\dfrac{16}{q^4}\cdot q^4+16q^4\cdot q^4\\\\257q^4=16+16q^8\\\\16q^8-257q^4+16=0\end{array}$

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⠀⠀Veja que encontramos uma equação semelhante à uma equação quadrática. Para encontrar suas raízes, iremos aplicar um artifício fazendo a substituição $k=q^4$ e $k^2=q^8$ , de modo que tenhamos:

$\Large\begin{array}{c}16k^2-257k+16=0\end{array}$

⠀⠀Assim, calculando $k$ pela formula de Bhaskara obtemos:

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$\Large\begin{array}{c}k=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\k=\dfrac{-\,(-\,257)\pm\sqrt{(-\,257)^2-4\cdot16\cdot16}}{2\cdot16}\\\\k=\dfrac{257\pm\sqrt{66049-1024}}{32}\\\\k=\dfrac{257\pm\sqrt{65025}}{32}\\\\k=\dfrac{257\pm255}{32}\\\\\begin{cases}k_1=\dfrac{257+255}{32}=\dfrac{512}{32}=16\\\\k_2=\dfrac{257-255}{32}=\dfrac{2}{32}=\dfrac{1}{16}\end{cases}\end{array}$

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⠀⠀E por fim, recambiando a substituição $q^4=k$ :

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$\Large\begin{array}{c}q^4=k_1\\\\q^4=16\\\\|q|=\sqrt[4]{16}\\\\q=\pm~2\end{array}~~\begin{array}{c}\vee\end{array}~~\begin{array}{c}q^4=k_2\\\\q^4=\dfrac{1}{16}\\\\|q|=\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}\\\\q=\pm~\dfrac{1}{2}\end{array}$

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⠀⠀Por conseguinte, obtemos os possíveis valores reais para a razão da nossa P.G.:

$q=2,~q=-\,2,~q=\frac{1}{2}~ou~q=-\frac{1}{2}$ .

⠀⠀Lembra que a questão nos disse que $q > 1$ ? Pois bem, a razão é restritamente maior que 1, logo temos somente $q=2$ já que os outros valores são menores que 1.

⠀⠀Pra finalizar essa resolução, vamos substituir o valor encontrado de $q$ na equação em que $a_1$ foi isolado para encontrar, finalmente, seu valor:

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$\Large\begin{array}{c}a_1=-\,\dfrac{17}{1+q^4}\\\\a_1=-\,\dfrac{17}{1+2^4}\\\\a_1=-\,\dfrac{17}{1+16}\\\\a_1=-\,\dfrac{17}{17}\\\\\!\!\boldsymbol{\boxed{a_1=-\,1}}\end{array}$

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⠀⠀Conclui-se, portanto, que seu primeiro termo é igual a – 1, logo a alternativa e) é a correta.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$