Question

No retângulo da figura abaixo temos que AB = 20, BC = 12 e AM = MB.
Determine a medida de EF.

Answer 1

Vou escrever a equação de duas retas. Uma que representa o segmento $\overline{DB}$ e outra que representa o segmento $\overline{MC}$. A intersecção dessas duas retas nos dará as coordenadas de E.

Seja A = (0,0), D = (0,12), B = (20,0), M = (10,0) e C = (20,12). Então:

A equação da reta é dada por:

$y = a \cdot x + b$

Onde a representa o coeficiente angular (inclinação) e b o coeficiente linear (deslocamento).

Na primeira reta, temos que quando x vale 0, y vale 12:

$12 = a\cdot 0 + b$

$b = 12$

Também temos que, quando x vale 20, y vale 0:

$0 = 20 \cdot a + 12$

$a = -\dfrac{12 \div 4}{20 \div 4} = -\dfrac{3}{5}$

Assim, a primeira reta é escrita como:

$y_1 = -\dfrac{3}{5} \cdot x + 12$

Na segunda reta, quando x = 10, y vale 0:

$0 = 10 \cdot a + b$

$b = -10 \cdot a$

Também temos que, quando x vale 20, y vale 12:

$12 = 20 \cdot a - 10 \cdot a$

$12 = 10 \cdot a$

$a = \dfrac{12 \div 2}{10 \div 2} = \dfrac{6}{5}$

E b:

$b = -10 \cdot a$

$b = -10 \cdot \dfrac{6}{5}$

$b = -\dfrac{60}{5}$

$b = - 12$

Assim, a segunda reta pode ser escrita como:

$y_2 = \dfrac{6}{5} \cdot x - 12$

Agora, igualando as equações das duas retas:

$y_1 = y_2$

$-\dfrac{3}{5} \cdot x + 12= \dfrac{6}{5} \cdot x - 12$

Resolvendo para x:

$12+ 12= \dfrac{6}{5} \cdot x+\dfrac{3}{5} \cdot x$

$24= \dfrac{9}{5} \cdot x$

$x= \dfrac{5 \cdot 24}{9}$

$x= \dfrac{120 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{40}{3}$

Sabendo disso, podemos encontrar y substituindo x em qualquer uma das duas equações:

$y = \dfrac{6}{5} \cdot x - 12$

$y = \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{40}{3} - 12$

$y = 2 \cdot 8 - 12$

$y = 16 - 12$

$y = 4$

Ou seja, a posição de E é:

$E = \left(\dfrac{40}{3}, 4\right)$

Perceba que o ponto F tem a mesma coordenada x, mas y vale 0, logo:

$E = \left(\dfrac{40}{3}, 0\right)$

Assim, a medida de EF é simplesmente a diferença entre as coordenadas y de E e F:

$\boxed{\overline{EF} = 4}$