No retângulo ABCD da figura tem-se
CD = l e AD = 2l . Além disso, o ponto E pertence a diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede:
A) l√2/8
B) l√2/4
C) l√2/2
D) l√2
Obs: fazer passo a passo pra mim entender, obg!
Soluções para a tarefa
Resposta:
Área do retângulo =2L*L=2L²
Área do triângulo ΔBEF =2L²/5
ΔBDC é semelhante a ΔBEF
EF/BE=L/2L ==>EF=BE/2 ==>2EF=BE <<<<<
Área de ΔBEF ==> =BE*EF/2 = 2L²/5
2EF*EF/2=2L²/5
**** EF²=2L²/5
2EF=BE ==> (2EF=BE²) ==> 4EF²=BE²
ΔBEF é um triângulo retângulo ==>BF²=BE²+EF²
BF² =4EF²+EF² = 4 * 2L²/5 +2L²/5
BF² =10L²/5 ==>BF²=2L² ==>BF=L√2
Letra D
Resposta:
BF = L.√2 ( opção: D )
Explicação passo-a-passo:
.. Retângulo ABCD de dimensões: L e 2.L
.. BD é diagonal de ABCD
.. Área do retângulo = 2.L . L = 2.L²
.. BD é diagonal..=> BD² = L² + (2.L)² = L² + 4.L² = 5.L²
.. BD = raiz de (5.L²)......=> BD = L.raiz de 5
.. A diagonal BD divide o retângulo em 2 triângulos congruentes
..=> Área do triângulo BCD = 2.L² / 2 = L²
A área de ABCD = 5 . área de Δ BEF..
.. 2 . L² = 5 . área de Δ BEF....=> área de Δ BEF = 2.L²/5 (*)
VEJA: os triângulos BCD e BEF são semelhantes - possuem, cada
um, um ângulo reto e um ângulo comum (B).
Temos: BC / CD = BE / EF
.. 2.L / L = BE / EF
.. 2 / 1 = BE / EF......=´> BE = 2 . EF
.. O triângulo BEF é retângulo, assim como BCD
.. Pelo Teorema de Pitágoras:
.. BF² = EF² + BE²
.. BF² = EF² + (2 . EF)²
.. BF² = EF² + 4 .EF²
.. BF² = 5.EF² (**)
ÁREA DE Δ BEF = BE . EF / 2 ( BE = 2 . EF )
.. 2 . EF . EF / 2 = EF²
Mas, a área de BEF = 2 . L²/5 (*)
..=> EF² = 2 . L²/5
.. De (**): BF² = 5 . EF²
.. BF² = 5 . 2 . L²/5
.. BF² = 2 . L²...............=> BF = L . √2
.
(Espero ter colaborado)