Question

no retangulo abcd, as medidas dos lados ab e bc, são respectivamente....​

Answer 1

Resposta:

O ângulo x refere-se ao ângulo M do ΔCEM que vale 45°.

Explicação passo-a-passo:

Vamos analisar através dos triângulos retângulos formado pelo ΔCEM inscrito no retângulo ABCD. Nota-se que, com certeza, são formados três triângulos retângulos: ΔAEM, ΔBCE e ΔCDM.

dados:

AB = 15 cm

BC = 10 cm

EB = 5 cm

ângulo C do ΔECM = 45°

x = ?

M = ponto médio = divide a semirreta em 2 partes iguais

• Analisando o ΔBCE:

EB = 5cm

BC = 10 cm

EC = ? = hipotenusa

Em se tratando de um triângulo retângulo, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras.

EC² = BC² + EB²

EC² = 10² + 5²

EC² = 100 + 25

EC = √125 = √(5×5²)

EC = 5√5

Calculando o ângulo E deste triângulo, temos:

tan E = cateto oposto / cateto adjacente

tan E = 10 / 5

tan E = 2

E = 63,4° (aproximadamente)

Devemos saber que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual à 180°. Como o ΔBCE é um triângulo retângulo, o ângulo B é 90°. Desta forma, temos:

ângulo B + ângulo C + ângulo E = 180°

90 + ângulo C + 63,4 = 180°

ângulo C = 180 - 63,4 - 90

ângulo C = 26,6°

Assim, do ΔBCE, temos:

EB = 5cm

BC = 10 cm

EC = 5√5

ângulo B = 90°

ângulo C = 26,6°

ângulo E = 63,4°

• Analisando o ΔCDM:

Nota-se que o ângulo C, no retângulo, mede 90°. Este ângulo, foi dividido em 3 partes, sendo que já conhecemos 2 ângulos. Desta forma, temos:

ângulo C do ΔBCE + ângulo C do ΔCEM + ângulo C do ΔCDM = 90°

26,6° + 45° + ângulo C do ΔCDM = 90°

ângulo C do ΔCDM = 90° - 45° - 26,6°

ângulo C do ΔCDM = 18,4°

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual à 180°. Como o ΔCDM é um triângulo retângulo, o ângulo D é 90°. Desta forma, temos:

ângulo C do ΔCDM + ângulo M do ΔCDM + ângulo D do ΔCDM = 180°

18,4° + ângulo M do ΔCDM + 90° = 180°

ângulo M do ΔCDM = 180 - 18,4 - 90

ângulo M do ΔCDM = 71,6°

Assim, do ΔCDM, temos:

ângulo C do ΔCDM = 18,4°

ângulo D do ΔCDM = 90°

ângulo M do ΔCDM = 71,6°

• Analisando o ΔAEM:

Nota-se que o ângulo A, no retângulo, mede 90°. Como faltam ângulos para chegarmos em "x", vamos calcular através dos lados do triângulo.

M = ponto médio, ou seja, divide a semirreta em 2 partes iguais. Desta forma, temos:

AD = BC = 10cm

AM = AD ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm

Calculando AE:

AB = 15cm

AB = AE + BE

15 = AE + 5

AE = 15 - 5

AE = 10 cm

EM = ?

Em se tratando de um triângulo retângulo, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras.

EM² = AE² + AM²

EM² = 10² + 5² (notou que é a mesma conta do 1º triângulo que calculamos?)

Logo, EM = 5√5. Com isto, o único triângulo que possui 2 lados de mesmo tamanho é o triângulo isósceles!

Segundo a propriedade deste triângulo, se seus lados possuem mesmo tamanho, os ângulos opostos a estes lados, também terão o mesmo tamanho entre si.  Ou seja:

Se ângulo C do ΔCEM possui 45°, logo o ângulo M do ΔCEM também possui 45°.

Portanto, o ângulo x refere-se ao ângulo M do ΔCEM que vale 45°.

Já encontramos o resultado, mas vamos continuar os cálculos!

Lembre-se que estávamos analisando o ΔAEM.

EM² = AE² + AM² (continuando de onde paramos...)

EM² = 10² + 5²

EM = 5√5

Note que  EM = EC = 5√5.

Desta forma, o ΔAEM possui as mesmas medidas e mesmos ângulos que o ΔBCE.

Ou seja:

BC = AE = 10 cm

BE = AM = 5 cm

CE = EM = 5√5 cm

ângulo A do ΔAEM = ângulo B do ΔBCE = 90°

ângulo E do ΔAEM = ângulo C do ΔBCE = 26,6°

ângulo M do ΔAEM = ângulo E do ΔBCE = 63,4°

Com quase todas as medidas e ângulos em mãos, resta o cálculo de x. Saiba que a soma dos ângulos numa reta, resulta em 180°. Veja:

ângulo M do ΔAEM + ângulo x do ΔCEM + ângulo M do ΔCDM = 180°

63,4° + ângulo x do ΔCEM + 71,6° = 180°

ângulo x do ΔCEM = 180 - 63,4 - 71,6

ângulo x do ΔCEM = 45° → bateu com o que deduzimos!

Bons estudos e até a próxima!

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Answer 2

Resposta:

O ângulo x refere-se ao ângulo M do ΔCEM que vale 45°.

Explicação passo-a-passo:

Vamos analisar através dos triângulos retângulos formado pelo ΔCEM inscrito no retângulo ABCD. Nota-se que, com certeza, são formados três triângulos retângulos: ΔAEM, ΔBCE e ΔCDM.

dados:

AB = 15 cm

BC = 10 cm

EB = 5 cm

ângulo C do ΔECM = 45°

x = ?

M = ponto médio = divide a semirreta em 2 partes iguais

Analisando o ΔBCE:

EB = 5cm

BC = 10 cm

EC = ? = hipotenusa

Em se tratando de um triângulo retângulo, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras.

EC² = BC² + EB²

EC² = 10² + 5²

EC² = 100 + 25

EC = √125 = √(5×5²)

EC = 5√5

Calculando o ângulo E deste triângulo, temos:

tan E = cateto oposto / cateto adjacente

tan E = 10 / 5

tan E = 2

E = 63,4° (aproximadamente)

Devemos saber que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual à 180°. Como o ΔBCE é um triângulo retângulo, o ângulo B é 90°. Desta forma, temos:

ângulo B + ângulo C + ângulo E = 180°

90 + ângulo C + 63,4 = 180°

ângulo C = 180 - 63,4 - 90

ângulo C = 26,6°

Assim, do ΔBCE, temos:

EB = 5cm

BC = 10 cm

EC = 5√5

ângulo B = 90°

ângulo C = 26,6°

ângulo E = 63,4°

Analisando o ΔCDM:

Nota-se que o ângulo C, no retângulo, mede 90°. Este ângulo, foi dividido em 3 partes, sendo que já conhecemos 2 ângulos. Desta forma, temos:

ângulo C do ΔBCE + ângulo C do ΔCEM + ângulo C do ΔCDM = 90°

26,6° + 45° + ângulo C do ΔCDM = 90°

ângulo C do ΔCDM = 90° - 45° - 26,6°

ângulo C do ΔCDM = 18,4°

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual à 180°. Como o ΔCDM é um triângulo retângulo, o ângulo D é 90°. Desta forma, temos:

ângulo C do ΔCDM + ângulo M do ΔCDM + ângulo D do ΔCDM = 180°

18,4° + ângulo M do ΔCDM + 90° = 180°

ângulo M do ΔCDM = 180 - 18,4 - 90

ângulo M do ΔCDM = 71,6°

Assim, do ΔCDM, temos:

ângulo C do ΔCDM = 18,4°

ângulo D do ΔCDM = 90°

ângulo M do ΔCDM = 71,6°

Analisando o ΔAEM:

Nota-se que o ângulo A, no retângulo, mede 90°. Como faltam ângulos para chegarmos em "x", vamos calcular através dos lados do triângulo.

M = ponto médio, ou seja, divide a semirreta em 2 partes iguais. Desta forma, temos:

AD = BC = 10cm

AM = AD ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm

Calculando AE:

AB = 15cm

AB = AE + BE

15 = AE + 5

AE = 15 - 5

AE = 10 cm

EM = ?

Em se tratando de um triângulo retângulo, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras.

EM² = AE² + AM²

EM² = 10² + 5² (notou que é a mesma conta do 1º triângulo que calculamos?)

Logo, EM = 5√5. Com isto, o único triângulo que possui 2 lados de mesmo tamanho é o triângulo isósceles!

Segundo a propriedade deste triângulo, se seus lados possuem mesmo tamanho, os ângulos opostos a estes lados, também terão o mesmo tamanho entre si.  Ou seja:

Se ângulo C do ΔCEM possui 45°, logo o ângulo M do ΔCEM também possui 45°.

Portanto, o ângulo x refere-se ao ângulo M do ΔCEM que vale 45°.

Já encontramos o resultado, mas vamos continuar os cálculos!

Lembre-se que estávamos analisando o ΔAEM.

EM² = AE² + AM² (continuando de onde paramos...)

EM² = 10² + 5²

EM = 5√5

Note que  EM = EC = 5√5.

Desta forma, o ΔAEM possui as mesmas medidas e mesmos ângulos que o ΔBCE.

Ou seja:

BC = AE = 10 cm

BE = AM = 5 cm

CE = EM = 5√5 cm

ângulo A do ΔAEM = ângulo B do ΔBCE = 90°

ângulo E do ΔAEM = ângulo C do ΔBCE = 26,6°

ângulo M do ΔAEM = ângulo E do ΔBCE = 63,4°

Com quase todas as medidas e ângulos em mãos, resta o cálculo de x. Saiba que a soma dos ângulos numa reta, resulta em 180°. Veja:

ângulo M do ΔAEM + ângulo x do ΔCEM + ângulo M do ΔCDM = 180°

63,4° + ângulo x do ΔCEM + 71,6° = 180°

ângulo x do ΔCEM = 180 - 63,4 - 71,6

ângulo x do ΔCEM = 45° → bateu com o que deduzimos!