Question

No retângulo a seguir, os lados são: (x - 1) cm e (x - 3) cm. Encontre o valor de x e dos lados, sabendo que a área e 528 cm.

Answer 1

Dados que temos até agora:

• A área desse retângulo é de 528cm²;
• A base do retângulo mede ( x² - 1 );
• A altura do retângulo mede ( x² - 3 );

A área de um retângulo é dada por:

$área = base \times altura$

Vamos substituir esses valores área, base e altura pelos valores que a questão nos deu, assim:

$528 = ( {x}^{2} - 1) \times ( {x}^{2} - 3)$

Resolvemos a parte direita da equação, com o método do "chuveirinho":

$528 = {x}^{4} - 3 {x}^{2} - {x}^{2} + 3 \\ 528 = {x}^{4} - 4 {x}^{2} + 3$

Passamos o 3 para o outro lado da equação, subtraindo:

$528 - 3 = {x}^{4} - 4 {x}^{2} \\ 525 = {x}^{4} - 4 {x}^{2}$

Passamos o 525 para o outro lado da equação, negativo:

${x}^{4} - 4 {x}^{2} - 525 = 0$

E temos uma equação biquadrada. Vamos criar uma variável t e adotar t = x². Então, reescrevemos a equação:

${t}^{2} - 4t - 525 = 0$

Agora, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação. A fórmula de Bhaskara é dada por:

$t= \frac{-b±\sqrt{∆}}{2a}$

Primeiro, vamos calcular o ∆ (delta), que é dado por:

$∆=b^2-4ac$

Substituindo os valores de a, b e c, temos:

$∆ = {( - 4)}^{2} - 4 \times 1 \times ( - 525) \\ ∆ = 16 + 2100 \\ ∆ = 2116$

Agora, vamos subtituir o ∆ da fórmula:

$t= \frac{-b±\sqrt{∆}}{2a} \\ t = \frac{-( - 4)±\sqrt{2116}}{2 \times 1} \\ t = \frac{4±46}{2}$

Fazemos t1 e t2:

$t_1= \frac{4 + 46}{2} \\ t_1= \frac{50}{2} \\ t_1=25 \\ t_2= \frac{4 - 46}{2} \\ t_2= \frac{ - 42}{2} \\ t_2= - 21$

Então, achamos os valores de t1 e t2:

$t_1=25 \\ t_2= - 21$

Agora, lembra daquela variável t que criamos lá no início, e dissemos que t = x²? Vamos trocar esses valores t1 e t2 que achamos, por x²:

${x_1}^{2} = 25 \\ {x_2}^{2} = - 21$

Passando as potências pro outro lado como raiz, temos:

$x_1= \sqrt{25} \\ x_2 = \sqrt{ - 21}$

A raiz de 25 é igual a 5, mas a raiz de -21 não é um número real. Então, vamos considerar apenas o valor de x1:

$x = 5$

E pronto. Achamos o valor de x, que é igual a 5.