Question

No quadrilátero XYZW as medidas dos ângulos internos Z e W são respectivamente 128 graus e 76 graus. Se as bissetrizes dos ângulos internos X e Y cortam-se no ponto O, pode-se afirmar corretamente que a medida do ângulo XÔY é igual a:

a)156 graus
b)78 graus
c)204 graus
d)108 graus​

Answer 1

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. Z e W, juntos, somam 128 + 76 = 204º. Então, X + Y = 360 - 204 => X + Y = 156.

No triângulo XOY, teremos um ângulo XÔY desconhecido, chamemo-lo de a, um ângulo equivalente a metade de X, e outro equivalente à metade de Y (por conta das bissetrizes). Sabemos que, se x + y = 156, então x = 156 - y.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º, então, no triângulo XOY, teremos:

$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+a=180\\\\\frac{156 - y}{2}+\frac{y}{2}+a=180\\\\\frac{156}{2}+a=180\\\\a=180-78=102$

Pesquisando na Internet, a alternativa d) aparece apresentada como 102º, que é a resposta que eu encontrei. Verifique se não houve erro de digitação.

Answer 2

Resposta:

Parece complicado, mas é bem simples.

Se foi citado bissetriz na questão, então está se referindo a um losango. E em losangos, o ângulo oposto sempre possui o mesmo valor. Isso significa que há os ângulos de 128°, 128°, 76° e 76°no quadrilátero (o ângulo interno de X é 128° e de Y é 76°).

Para encontrar a medida do ângulo XÔY , basta lebrar que a bissetriz "divide ao meio" os dois ângulos X e Y, ou seja, vamos usar a metade do valor de cada ângulo, ficando 64° e 38°, respectivamente.

Somando os dois valores, o resultado é 102° (que deveria ser a letra D, houve um erro de digitação)

Espero ter ajudado